Sedikit Tentang Mortalitas Dalam Asuransi Jiwa

Bagi perusahaan asuransi jiwa (life insurance), mortalitas adalah hal yang sangat penting sekali untuk menentukan berapa premi yang pantas untuk seseorang. Mortalitas disajikan dalam bentuk peluang, iya, peluang seseorang berumur (x) akan meninggal t tahun lagi. Wah kok umur orang bisa dihitung peluangnya? katanya hidup-mati orang tidak ada yang tahu? ini adalah pemahaman yang salah, matematikawan hanya bisa mengukur peluang, angka yang muncul di peluang itu adalah suatu proses ‘mengintip’ masa depan, yang Maha Kuasa lah yang menentukan. Tetapi sebagai manusia, lebih baik dari sekedar mempasrahkan hal ini, setidaknya kita sedikit berusaha dengan kemampuan hehe, ngomong apa saya ini.

Terdapat beberapa model matematika untuk mortalitas manusia ini, yang saya tahu diantaranya Makeham, De Moivre, dan Gompertz. Ketiga hal yang saya sebut sebelumnya adalah ‘formula’ dari manusia yang berumur (x). Dari situ kita bisa tahu berapa peluang seseorang berumur (x) mati atau hidup t tahun lagi. Karena berkaitan dengan peluang, lamanya manusia bertahan hidup ini merupakan suatu peubah acak, sebut saja itu dengan T(x). T(x) ini sifatnya spesial, fungsinya akan berbeda karena bergantung dengan nilai (x). Sebagai ilustrasi, distribusi dari lamanya umur dari orang yang berumur 25 tahun dengan 65 tahun akan berbeda. Orang yang berumur 25 tahun distribusinya lebih menceng ke kanan (diperkirakan masih berpeluang besar untuk dapat hidup sampai umur 60++) sedangkan yang umurnya 65 lebih menceng ke kiri, mungkin ‘saatnya sudah dekat’ :D.

Grafik Peluang Hidup

Model mortalitas yang saya sebut diatas berbentuk suatu formula, namun pada prakteknya perusahaan asuransi lebih suka menggunakan tabel mortalitas. Tabel mortalitas adalah tabel yang berisi peluang orang dapat bertahan hidup atau mati pada umur tertentu. Tabel ini dibuat melalui penelitian dan mungkin hanya berlaku untuk satu negara. Pasti pembaca sangat setuju bahwa mortalitas warga negara antara negara satu dan yang lainnya jelas berbeda. Di Indonesia rata-rata umurnya itu 60 tahun mungkin. Hidup sampai umur 70 tahunan saja sudah alhamdulillah. Tapi bagaimana dengan kawan kita di negara-negara yang sedang konflik seperti Somalia, Palestina, Irak atau negara dengan tingkat kelaparan/persebaran penyakit yg parah. Mungkin saja jarang ditemukan orang berumur panjang.

Tabel mortalitas sebenarnya juga dibangun dari model mortalitas yang saya sebut diatas, Saya pernah mendapatkan tugas untuk memodelkan umur seseorang dengan menggunakan Matlab. Mudah ternyata karena beberapa koefisien penting dari model Gompertz yang kami gunakan sudah diberikan. Sangat menarik apabila saya mencari peluang hidup saya berakhir dalam 1 tahun? 5 tahun? 10 tahun? atau 5 menit lagi? hehe.

Iklan

Darimana rumus abc itu?

Mungkin bagi sebagian pembaca, topik ini hal sepele dan terlalu mudah. Rumus abc? ck ck ck, siapa yang ga tahu, tapi saya yakin mungkin banyak yang tidak tahu (atau terlupa) itu rumus abc datang darimana. Yang jelas bukan datang dari dunia ghoib. Kalau saya punya persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 dengan a\neq 0, maka saya bisa cari akar dari persamaan kuadrat tersebut dengan rumus abc

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Pertama-tama, perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 . karena $a\neq 0$ boleh lah ya saya bagi kedua ruas dengan a sehingga menjadi

x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0

dengan teknik melengkapkan kuadrat (atau kuadrat sempurna), saya peroleh

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

darisini, saya ambil akar dari kedua ruas

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x =\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ketemu deh rumus abc ini.

Coba perhatikan bagian \sqrt{b^2-4ac}, tidak menutup kemungkinan hasil akar ini bisa bilangan positif, nol, atau bahkan b^2-4ac adalah bilangan negatif sehingga akan bertemu dengan kasus imajiner (bilangan kompleks). Penggolongan inilah yang nantinya disebut diskriminan. Diskriminan didefinisikan sebagai D=b^2-4ac.

Tadi telah saya sebut bahwa kemungkinan dari nilai D adalah tiga, yaitu D>0, D<0, D=0. Jika D>0, hasil dari \sqrt{D} akan berupa suatu bilangan sehingga kita bisa mendapatkan dua buah akar untuk x hal serupa jika kita menemui kasus D<0. Jika D=0 maka bagian \sqrt{b^2-4ac}=0 yang berakibat akar dari x hanya \dfrac{-b}{2a} alias akarnya tunggal.