Darimana rumus abc itu?

Mungkin bagi sebagian pembaca, topik ini hal sepele dan terlalu mudah. Rumus abc? ck ck ck, siapa yang ga tahu, tapi saya yakin mungkin banyak yang tidak tahu (atau terlupa) itu rumus abc datang darimana. Yang jelas bukan datang dari dunia ghoib. Kalau saya punya persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\neq 0$ , maka saya bisa cari akar dari persamaan kuadrat tersebut dengan rumus abc

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Pertama-tama, perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ . karena $a\neq 0$ boleh lah ya saya bagi kedua ruas dengan $a$ sehingga menjadi

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

dengan teknik melengkapkan kuadrat (atau kuadrat sempurna), saya peroleh

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}$

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

darisini, saya ambil akar dari kedua ruas

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x =\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

ketemu deh rumus abc ini.

Coba perhatikan bagian $\sqrt{b^2-4ac}$ , tidak menutup kemungkinan hasil akar ini bisa bilangan positif, nol, atau bahkan $b^2-4ac$ adalah bilangan negatif sehingga akan bertemu dengan kasus imajiner (bilangan kompleks). Penggolongan inilah yang nantinya disebut diskriminan. Diskriminan didefinisikan sebagai $D=b^2-4ac$ .

Tadi telah saya sebut bahwa kemungkinan dari nilai $D$ adalah tiga, yaitu $D>0$ , $D<0$ , $D=0$ . Jika $D>0$ , hasil dari $\sqrt{D}$ akan berupa suatu bilangan sehingga kita bisa mendapatkan dua buah akar untuk $x$ hal serupa jika kita menemui kasus $D<0$ . Jika $D=0$ maka bagian $\sqrt{b^2-4ac}=0$ yang berakibat akar dari $x$ hanya $\dfrac{-b}{2a}$ alias akarnya tunggal.