Peubah Acak Kontinu Positif

Misalkan X>0 adalah peubah acak kontinu positif. Peubah acak seperti ini digunakan untuk hal-hal yang bernilai positif, misalkan sisa umur manusia dalam tahun, kerugian asuransi, dll. Beberapa properties yang dimiliki oleh peubah acak kontinu positif ini (khususnya momen) sangat menarik. Misalnya dua hal dibawah ini

1. E[X]=\int_0^\infty (1-F(x))\,dx

dan

2. E[X^2]=\int_0^\infty 2x(1-F(x))\,dx

pada tulisan ini akan saya buktikan kedua sifat diatas.

Seperti yang diketahui, momen pertama dari peubah acak X adalah E[X]=\int_0^\infty x\,f(x)\,dx dengan f(x) adalah fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X. Ingat teorema dasar kalkulus pertama, x untuk X seuatu peubah acak positif bisa kita tuliskan sebagai

x=\int_0^x\,dt

Subtitusikan persamaan ini ke dalam $ latex E[X]$ diatas menjadi

E[X]=\int_0^\infty\int_0^x\,f(x)\,dt\,dx

tukarkan urutan integral diatas, sehingga diperoleh

E[X]=\int_0^\infty\int_t^\infty f(x)\,dx\,dt=\int_0^\infty (1-F(t))\,dt

dengan sifat peluang F(\infty)=1 maka kita peroleh persamaan untuk momen pertama X seperti di awal bagian tulisan ini. Untuk sifat yang kedua, kita dapat mengganti x^2 dengan \int_0^x ,t\,dt, lakukan cara yang sama seperti saat kita mencari E[X] diatas.

Bagaimana dengan E[X^n] ?

x^n dapat kita ubah bentuknya menjadi x^n=\int_0^x nt^{n-1}\,dt, maka diperoleh

E[X^n]=\int_0^\infty\int_0^xnt^{n-1}f(x)\,dt\,dx

tukar urutan integral diatas menjadi

E[X^n]=\int_0^\infty \int_t^\infty nt^{n-1} f(x)\,dx\,dt=\int_0^\infty nt^{n-1}(1-F(t))\,dt

Terlihat bahwa kita dapat mencari bentuk umum dari E[X^n] adalah \int_0^\infty nx^{n-1} (1-F(x))\,dx , namun integral ini belum tentu ada (CMIIW).

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s