Misalkan adalah peubah acak kontinu positif. Peubah acak seperti ini digunakan untuk hal-hal yang bernilai positif, misalkan sisa umur manusia dalam tahun, kerugian asuransi, dll. Beberapa properties yang dimiliki oleh peubah acak kontinu positif ini (khususnya momen) sangat menarik. Misalnya dua hal dibawah ini
1.
dan
2.
pada tulisan ini akan saya buktikan kedua sifat diatas.
Seperti yang diketahui, momen pertama dari peubah acak adalah
dengan
adalah fungsi kepadatan peluang dari peubah acak
. Ingat teorema dasar kalkulus pertama,
untuk
seuatu peubah acak positif bisa kita tuliskan sebagai
Subtitusikan persamaan ini ke dalam $ latex E[X]$ diatas menjadi
tukarkan urutan integral diatas, sehingga diperoleh
dengan sifat peluang maka kita peroleh persamaan untuk momen pertama
seperti di awal bagian tulisan ini. Untuk sifat yang kedua, kita dapat mengganti
dengan
, lakukan cara yang sama seperti saat kita mencari
diatas.
Bagaimana dengan ?
dapat kita ubah bentuknya menjadi
, maka diperoleh
tukar urutan integral diatas menjadi
Terlihat bahwa kita dapat mencari bentuk umum dari adalah
, namun integral ini belum tentu ada (CMIIW).