Misalkan 
adalah peubah acak kontinu positif. Peubah acak seperti ini digunakan untuk hal-hal yang bernilai positif, misalkan sisa umur manusia dalam tahun, kerugian asuransi, dll. Beberapa properties yang dimiliki oleh peubah acak kontinu positif ini (khususnya momen) sangat menarik. Misalnya dua hal dibawah ini
1. ![E[X]=\int_0^\infty (1-F(x))\,dx](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5BX%5D%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty+%281-F%28x%29%29%5C%2Cdx&bg=%23ffffff&fg=%2321759b&s=0 "E[X]=\int_0^\infty (1-F(x))\,dx")
dan
2. ![E[X^2]=\int_0^\infty 2x(1-F(x))\,dx](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5BX%5E2%5D%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty+2x%281-F%28x%29%29%5C%2Cdx&bg=%23ffffff&fg=%2321759b&s=0 "E[X^2]=\int_0^\infty 2x(1-F(x))\,dx")
pada tulisan ini akan saya buktikan kedua sifat diatas.
Seperti yang diketahui, momen pertama dari peubah acak 
adalah ![E[X]=\int_0^\infty x\,f(x)\,dx](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5BX%5D%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty+x%5C%2Cf%28x%29%5C%2Cdx&bg=%23ffffff&fg=%2321759b&s=0 "E[X]=\int_0^\infty x\,f(x)\,dx")
dengan 
adalah fungsi kepadatan peluang dari peubah acak . Ingat teorema dasar kalkulus pertama, 
untuk seuatu peubah acak positif bisa kita tuliskan sebagai
Subtitusikan persamaan ini ke dalam $ latex E[X]$ diatas menjadi
![E[X]=\int_0^\infty\int_0^x\,f(x)\,dt\,dx](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5BX%5D%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cint_0%5Ex%5C%2Cf%28x%29%5C%2Cdt%5C%2Cdx&bg=%23ffffff&fg=%2321759b&s=0 "E[X]=\int_0^\infty\int_0^x\,f(x)\,dt\,dx")
tukarkan urutan integral diatas, sehingga diperoleh
![E[X]=\int_0^\infty\int_t^\infty f(x)\,dx\,dt=\int_0^\infty (1-F(t))\,dt](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5BX%5D%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cint_t%5E%5Cinfty+f%28x%29%5C%2Cdx%5C%2Cdt%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty+%281-F%28t%29%29%5C%2Cdt&bg=%23ffffff&fg=%2321759b&s=0 "E[X]=\int_0^\infty\int_t^\infty f(x)\,dx\,dt=\int_0^\infty (1-F(t))\,dt")
dengan sifat peluang 
maka kita peroleh persamaan untuk momen pertama seperti di awal bagian tulisan ini. Untuk sifat yang kedua, kita dapat mengganti 
dengan 
, lakukan cara yang sama seperti saat kita mencari ![E[X]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5BX%5D&bg=%23ffffff&fg=%2321759b&s=0 "E[X]")
diatas.
Bagaimana dengan ![E[X^n]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5BX%5En%5D&bg=%23ffffff&fg=%2321759b&s=0 "E[X^n]")
?
dapat kita ubah bentuknya menjadi 
, maka diperoleh
![E[X^n]=\int_0^\infty\int_0^xnt^{n-1}f(x)\,dt\,dx](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5BX%5En%5D%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cint_0%5Exnt%5E%7Bn-1%7Df%28x%29%5C%2Cdt%5C%2Cdx&bg=%23ffffff&fg=%2321759b&s=0 "E[X^n]=\int_0^\infty\int_0^xnt^{n-1}f(x)\,dt\,dx")
tukar urutan integral diatas menjadi
![E[X^n]=\int_0^\infty \int_t^\infty nt^{n-1} f(x)\,dx\,dt=\int_0^\infty nt^{n-1}(1-F(t))\,dt](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E%5BX%5En%5D%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty+%5Cint_t%5E%5Cinfty+nt%5E%7Bn-1%7D+f%28x%29%5C%2Cdx%5C%2Cdt%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty+nt%5E%7Bn-1%7D%281-F%28t%29%29%5C%2Cdt&bg=%23ffffff&fg=%2321759b&s=0 "E[X^n]=\int_0^\infty \int_t^\infty nt^{n-1} f(x)\,dx\,dt=\int_0^\infty nt^{n-1}(1-F(t))\,dt")
Terlihat bahwa kita dapat mencari bentuk umum dari adalah 
, namun integral ini belum tentu ada (CMIIW).
