Bukan Jawaban UAS Kalkulus IA 2012-2013

Perhatian :

– Ini jawaban versi saya sendiri, jadi belum tentu benar, tolong di cek kembali

– saya tidak bertanggung jawab atas kerugian-kerugian yang timbul akibat post ini 😛

—–

Bagian A

1. Tentukanlah $F(x)$ , jika $F(x)$ merupakan anti turunan fungsi $f(x)=2x^2-\cos x$ yang memenuhi $F(0)=-1$

Jawab :

$F(x)=\int 2x^2-\cos x\,dx = \frac{2}{3}x^3-\sin x + C$ . Dengan informasi $F(0)=-1$ , maka $F(x)=\frac{2}{3}x^3-\sin x - 1$

2. Tentukan hampiran luas daerah $D$ menggunakan jumlah Riemann kiri dengan tiga selang bagian ( $n=3$ ).

Jawab :

Dari gambar kita dapat tentukan $a=0.5$ dan $b=2$ sehingga $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2-0.5}{3}=0.5$ , karena yang diminta adalah jumlah Riemann kiri, maka $x_1=0.5,x_2=1,x_3=1.5$ atau $x_i=0.5+(i-1)0.5,i=1,2,3$ . Sehingga jumlah Riemann kiri nya adalah

$\sum_{i=1}^3f(0.5+(i-1)0.5)\cdot 0.5=\sum_{i=1}^3\left(1+\frac{1}{0.5+(i-1)0.5}\right)\cdot 0.5$

3. Nyatakan limit jumlah Riemann :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\left(\cosh \frac{3i}{n}\right)\frac{3}{n}$

sebagai integral tentu dengan batas bawah integral $a=0$ . (Tidak perlu dihitung).

Jawab :

karena $a=0$ , dan $\frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ , maka diperoleh $b=3$ sebagai batas bawah integral. Sehingga integralnya menjadi

$\int_0^3\cosh x\,dx$ (Tidak perlu dihitung :p)

4. Hitunglah $\int_{-2}^2e^{|x|}\,dx$

ingat kembali apa arti dari $|x|$ , integral diatas menjadi

$\int_{-2}^2e^{|x|}\,dx=\int_{-2}^0e^{-x}\,dx +\int_0^2e^x\,dx$

$= \left[-e^{-x}\right]_{-2}^0+\left[e^x\right]_0^2 = 2e^2-2$ .

5. Nyatakan volume benda putar yang terjadi, jika daerah $D$ diputar mengelilingi garis $y=-1$ dalam bentuk limit jumlah Riemann dan integral tentunya. (Tidak perlu dihitung)

Jawab :

$y=\sqrt{x+1}$ , $\Delta x=\frac{3-0}{n}=\frac{3}{n}$ . Dengan menggunakan limit jumlah Riemann kiri

$x_i=\frac{3i}{n}$ . Dengan menggunakan metode cakram, $\Delta V=\left(\pi (f\left(\frac{3i}{n}\right) +1)^2 -\pi\right)\frac{3}{n}$ . Sehingga diperloeh

$V=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3\pi}{n}\sum_{i=1}^n\left( (f\left(\frac{3i}{n}\right) +1)^2 -1\right)$ . Sedangkan dalam bentuk integral

$V=\pi \int_0^3\left(\sqrt{x+1}+1\right)^2-1\,dx$ (lagi-lagi tak perlu dihitung)

6. Apakah fungsi $y=xe^{-x}$ merupakan solusi dari persamaan diferensial $xy'+(1+x)y=e^{-x}$ ? Jelaskan jawaban Anda.

Jawab :

cara yang termudah adalah dengan tidak mencari solusinya, melainkan cocokkan saja $y$ dengan persamaan diferensial tsb. $y'=e^{-x}-xe^{-x}$

Sehingga $x(e^{-x}-xe^{-x})+(1+x)xe^{-x}=xe^{-x}-x^2e^{-x}+xe^{-x}+x^2e^{-x}=2xe^{-x}\neq e^{-x}$

7. Gunakan sifat logaritma untuk menentukan $\frac{dy}{dx}$ , jika

$y=\left(\frac{(x^2+3)^{\frac{2}{3}}(3x+2)}{\sqrt{x+1}}\right)$

Jawab :

$\ln y= \frac{2}{3}\ln (x^2+3)+2\ln (3x+2)-\frac{1}{2}\ln (x+1)$

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}\frac{2x}{x^2+3}+\frac{6}{3x+2}-\frac{1}{2(x+1)}$

$\frac{dy}{dx}=y\cdot\left(\frac{2}{3}\frac{2x}{x^2+3}+\frac{6}{3x+2}-\frac{1}{2(x+1)}\right)$

$\frac{dy}{dx}=\left(\frac{(x^2+3)^{\frac{2}{3}}(3x+2)}{\sqrt{x+1}}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\frac{2x}{x^2+3}+\frac{6}{3x+2}-\frac{1}{2(x+1)}\right)$

8. Diketahui $\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$ , Tentukan $\int\frac{3}{1+4x^2}\,dx$ .

Jawaban :

$\int\frac{3}{1+4x^2}\,dx=\frac{3}{2}\int \frac{1}{1+(2x)^2}\,d(2x)=\frac{3}{2}\tan{-1}(2x)+C$

Bagian B

1. Diketahui $F(x)=\int_2^{2x}e^{2t}(t^4+1)\,dt$

a. Tentukan $F'(x)$

b. Tunjukkan bahwa $F$ mempunyai invers

c. Tentukan $\left(F^{-1})(0)\right)$ .

Jawab :

a. $\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_2^{2x}e^{2t}(t^4+1)\,dt$

$F'(x)=2e^{4x}((2x)^4+1)$

b. $F$ mempunyai invers karena $F'(x)>0$ untuk setiap $x$ .

c. Karena $F$ mempunyai invers. maka $latex F^{-1}(0)$ dapat dicari dengan menggunakan

$latex F^{-1}(0) =\frac{1}{F^{-1}(1)}=\frac{1}{2e^4(2^16+1)}$

Dipilih 1 karena yang menghasilkan $F(x)=0$ adalah untuk $x=1$ (Integral dari $\int_2^2 f(x)\,dx=0$ )

2. Hitunglah titik pusat massa lamina homogen yang dibatasi oleh grafik $y=4-x^2$ dan sumbu $x$ .

Jawab :

Karena lamina homogen, asumsikan $\delta=1$ sehingga $m=\int_0^24-x^2\,dx=4x-\frac{2}{3}x^3=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$

$M_x=\frac{1}{2}\int_0^2 (4-x^2)^2\,dx$ dan $M_y=\int_0^2 x(4-x^2)\,dx$ (silahkan hitung sendiri hehe)

maka $\bar{x}=\frac{M_y}{m}$ dan $\bar{y}=\frac{M_x}{m}$

3. Ami mengundang teman-temannya untuk makan malam bersama yang dimulai tepat puku 7 malam nanti. Untuk mempersiapkan hidangan makan malam hingga matang pada temperatur 90 C, diperlukan waktu tepat 3 jam. Jika dibiarkan selama 15 menit setelah matang, temperatur hidangan akan menjadi 80 C. Hidangan baru bisa disantap jika temperaturnya mencapai 50 C. Tentukan kapan Ami mulai menyiapkan hidangan tersebut. Asumsikan temperatur ruangan tetap sebesar 25 C. (Petunjuk : Menurut Hukum Pendinginan Newton, laju perubahan temperatur suatu benda, sebanding dengan perbedaan temperatur benda tersebut dengan temperatur lingkungannya)

Jawab :

Memasak perlu waktu 3 jam hingga suhu pada $t=0$ adalah $T=90$ . Model pendinginan Newton sesuai dengan petunjuk adalah

$\frac{dT}{dt}=k(T-T_1)$

dengan $T_1$ adalah suhu ruangan. Dengan menggunakan metode separasi, solusi dari persamaan diferensial di atas adalah

$T(t)=T_1+T_0e^{kt}$ , dengan $T_0=90$ persamaan ini menjadi

$T(t)=25 +90e^{kt}$ . Sekarang tugas kita adalah mencari besar dari $k$ . Saat $t=15$ , suhu hidangan menjadi 80 C.

$80 = 25 +90e^{15k}$ diperoleh $k = \frac{\ln (55/90)}{15}$ . Sehingga bentuk lengkap dari persamaan adalah

$latex T(t)=25 +90e^{\ln(55/90)t/15}$. Kita tingga mencari berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai suhu 50 C

$50 = 25 +90e^{\ln (55/90)t/15}$ diperoleh $t = \frac{15\ln(25)-15\ln(90)}{\ln(55)-\ln(90)}$ karena disini saya boleh menggunakan kalkulator, hasilnya adalah sekitar 39 menit. Sehingga Ami harus mulai memasak pada pukul 7 yang dikurangi oleh (3 jam + $latex \frac{15\ln(25)-15\ln(90)}{\ln(55)-\ln(90)}$ menit). Atau sekitar pukul 3.21

2 pemikiran pada “Bukan Jawaban UAS Kalkulus IA 2012-2013”

alderine berkata:

Desember 8, 2012 pukul 17:22

yog itu salah persamaan diferensial mbak ami. nilai T0 dari solusi homogen bukan 90 Tapiii 90-25. atau Tsekitar dikurangi Tmasakan

Balas
1. alderine berkata:
  
  Desember 8, 2012 pukul 17:25
  
  coba gampangnya periksa ke persamaan diferensial awal. kalau pake persamaan lo nanti sifat awal newtonnya ga terpenuhi dong. turunan suhu T(t) jadi k(90) atau kTo bukan k(T-T1)
  
  Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

E-mail (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

Share this:

Sukai ini:

Terkait

2 pemikiran pada “Bukan Jawaban UAS Kalkulus IA 2012-2013”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan