Ujian Reevaluasi Kalkulus 1A 2012-2013

Bagian A

1. Hitunglah \lim_{x\rightarrow 0}x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right)

Jawab :

Gunakan prinsip apit.

-1\leq\cos\left(\frac{3}{x}\right)\leq 1

-x^2\leq x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right)\leq x^2

kita tahu bahwa \lim_{x\rightarrow 0} -x^2 = \lim_{x\rightarrow 0} x^2 = 0. Maka  \lim_{x\rightarrow 0}x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right) = 0

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y=\frac{1}{x+1} di titik P\left(1,\frac{1}{2}\right)

Jawab :

y'=\frac{-1}{(x+1)^2}, sehingga gradien garis singgung di x=1 adalah m=-\frac{1}{4}. Diperoleh garis singgng di P adalah y=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}

3. Tentukan selang kemonotonan fungsi f dengan memperhatikan grafik f' dibawah ini

Jawab :

Ingat bahwa f monoton naik jika f' >0 dan turun jika f' < 0

f monoton turun pada selang (-\infty,0) dan (0,2). Sedangkan f monoton naik pada selang (2,\infty)

4.  Tentukan konstanta positif a agar \int_0^a(2x+2)\,dx=3

Jawab :

\int_0^a2x+2\,dx = \left[x^2+2x\right]_0^a=3

a^2+2a = 3 sehingga a=1

5. Hitunglah \int_{-1001}^{1001} x^2\sin 3x\,dx dengan menggunakan sifat simetri

Jawab :

\int_{-1001}^{1001} x^2\sin 3x\,dx=0 karena x^2\sin 3x adalah fungsi ganjil.

6. Tentukan \int \frac{\ln x}{x}\,dx

Jawab :

\int\frac{\ln x}{x}\,dx =\int\ln x\,d(\ln x)=\frac{1}{2}\ln^2 x+C

7. Tentukan turunan kedua dari f(x)=e^{-5x}

Jawab :

f'(x)=-5e^{-5x}, diperoleh f''(x)=25e^{-5x}

8. Tentukan solusi \frac{dy}{dx}=2xy dengan y\neq 0

Jawab :

\frac{dy}{dx}=2xy

\frac{dy}{y}=2x\,dx

\int \frac{dy}{y}=\int 2x\,dx

\ln y = x^2 + C

y = Ce^{x^2}

Bagian B

1. Diketahui daerah D merupakan daerah tertutup di kuadran 1 yang dibatasi oleh kurva y=x^2,\, y=2-x dan sumbu y

a. Sketsalah daerah D

b. Misalkan V adalah volume benda putar yang terjadi jika D diputar mengelilingi sumbu y, tuliskan \Delta V kemudian hitunglah V

Jawab :

grafik

b. dengan menggunakan metode kulit tabung

\Delta V = 2\pi x(2-x -x^2)\Delta x

sehingga volume dari benda tsb adalah

V = \int_0^12\pi x(2-x-x^2)\,dx=\frac{5\pi}{6}

2. Kecepatan transmisi sinyal, T , pada suatu kabel telegraf dapat dinyatakan dalam bentuk T(x)=kx^2 \ln \frac{1}{x} dengan x adalah perbandingan jari-jari kawat dalam kabel dan insulatornya, 0<x<1, dan k adalah suatu konstanta positif.

a. Tentukan k jika diketahui T\left(\frac{1}{e}\right) = 1

b. Tentukan titik di mana T mencapai nilai maksimum

Jawab :

a. diketahui $latex T\left(\frac{1}{e}\right) = 1$,

T\left(\frac{1}{e}\right) = k\frac{1}{e^2}\ln e = 1, diperoleh k = e^2.

b. T'(x)=-2xe\ln x - ex = 0 untuk mencari titik stasionernya

ex(-2\ln x - 1) = 0, maka -2\ln x - 1=0, diperoleh x = \sqrt{e}

dengan nilai maksimum di T(\sqrt{e}) = \frac{e}{2}

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s