Ujian Reevaluasi Kalkulus 1A 2012-2013

Bagian A

1. Hitunglah $\lim_{x\rightarrow 0}x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right)$

Jawab :

Gunakan prinsip apit.

$-1\leq\cos\left(\frac{3}{x}\right)\leq 1$

$-x^2\leq x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right)\leq x^2$

kita tahu bahwa $\lim_{x\rightarrow 0} -x^2 = \lim_{x\rightarrow 0} x^2 = 0$ . Maka $\lim_{x\rightarrow 0}x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right) = 0$

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=\frac{1}{x+1}$ di titik $P\left(1,\frac{1}{2}\right)$

Jawab :

$y'=\frac{-1}{(x+1)^2}$ , sehingga gradien garis singgung di $x=1$ adalah $m=-\frac{1}{4}$ . Diperoleh garis singgng di $P$ adalah $y=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$

3. Tentukan selang kemonotonan fungsi $f$ dengan memperhatikan grafik $f'$ dibawah ini

Jawab :

Ingat bahwa $f$ monoton naik jika $f' >0$ dan turun jika $f' < 0$

$f$ monoton turun pada selang $(-\infty,0)$ dan $(0,2)$ . Sedangkan $f$ monoton naik pada selang $(2,\infty)$

4. Tentukan konstanta positif $a$ agar $\int_0^a(2x+2)\,dx=3$

Jawab :

$\int_0^a2x+2\,dx = \left[x^2+2x\right]_0^a=3$

$a^2+2a = 3$ sehingga $a=1$

5. Hitunglah $\int_{-1001}^{1001} x^2\sin 3x\,dx$ dengan menggunakan sifat simetri

Jawab :

$\int_{-1001}^{1001} x^2\sin 3x\,dx=0$ karena $x^2\sin 3x$ adalah fungsi ganjil.

6. Tentukan $\int \frac{\ln x}{x}\,dx$

Jawab :

$\int\frac{\ln x}{x}\,dx =\int\ln x\,d(\ln x)=\frac{1}{2}\ln^2 x+C$

7. Tentukan turunan kedua dari $f(x)=e^{-5x}$

Jawab :

$f'(x)=-5e^{-5x}$ , diperoleh $f''(x)=25e^{-5x}$

8. Tentukan solusi $\frac{dy}{dx}=2xy$ dengan $y\neq 0$

Jawab :

$\frac{dy}{dx}=2xy$

$\frac{dy}{y}=2x\,dx$

$\int \frac{dy}{y}=\int 2x\,dx$

$\ln y = x^2 + C$

$y = Ce^{x^2}$

Bagian B

1. Diketahui daerah $D$ merupakan daerah tertutup di kuadran 1 yang dibatasi oleh kurva $y=x^2,\, y=2-x$ dan sumbu y

a. Sketsalah daerah D

b. Misalkan V adalah volume benda putar yang terjadi jika $D$ diputar mengelilingi sumbu y, tuliskan $\Delta V$ kemudian hitunglah $V$

Jawab :

b. dengan menggunakan metode kulit tabung

$\Delta V = 2\pi x(2-x -x^2)\Delta x$

sehingga volume dari benda tsb adalah

$V = \int_0^12\pi x(2-x-x^2)\,dx=\frac{5\pi}{6}$

2. Kecepatan transmisi sinyal, $T$ , pada suatu kabel telegraf dapat dinyatakan dalam bentuk $T(x)=kx^2 \ln \frac{1}{x}$ dengan $x$ adalah perbandingan jari-jari kawat dalam kabel dan insulatornya, $0<x<1$ , dan $k$ adalah suatu konstanta positif.