Ulang Tahun Cheryl 2.0

Setelah beberapa hari yang lalu membuat post tentang soal primary 5 olimpiade level SMP yang berisi pertanyaan ulang tahun Cheryl, saya menemukan kembali soal dengan tipe serupa dan lagi-lagi tokoh utamanya Cheryl, Albert, dan Bernard. Namun kini ada orang keempat yaitu David. Berikut soal yang dimaksud

20150416012750Jika dilihat sekilas, soal kali ini lebih rumit karena pilihan tanggal ulang tahun yang diberikan oleh Cheryl semakin banyak. Walaupun pilihannya lebih banyak, secara alur logika, masih dapat dikerjakan dengan cara sebelumnya. Yang menarik adalah kini ada orang keempat bernama David yang membuat soal ini sedikit lebih rumit dari sebelumnya.

David diberikan satu set bulan dan tanggal dari Cheryl yang bulan dan tanggalnya berbeda dengan bulan dan tanggal ulang tahun Cheryl yang tidak diketahui.

Prosesnya seperti ini :

1. Albert (yang hanya tahu bulannya saja) mengatakan bahwa dia tak tahu tanggal ulang tahun Cheryl. Dia juga yakin bahwa Bernard pun juga tidak tahu

Sama seperti soal sebelumnya. Jika Albert mengatakan bahwa dia dan Bernard tidak tahu, maka bulan dari hari ulang tahun Cheryl bukan pada tanggal yang identik di bulan tertentu (tanggal yang tidak ada di bulan lainnya) sehingga May 15, May 16, May 19, Jun 17, Jun 18, Jun 20, Jun 22 pasti bukan hari ulang tahun Cheryl.

2. Bernard (yang hanya tahu tanggalnya saja) mengatakan bahwa dia tak tahu tanggal ulang tahun Cheryl meskipun setelah Albert berkata sesuatu pada poin (1)

Tanggal yang tersisa :

Jul 15, Jul 16

Aug 14, Aug 20, Aug 22

Sep 14, Sep 16, Sep 17, Sep 20

Bernard tetap tidak tahu hari ulang tahun Cheryl. Berarti tidak mungkin tanggal dari hari ulang tahun Cheryl adalah tanggal yang identik (setelah proses nomor 1). Jika tanggal ulang tahun Cheryl adalah tanggal yg identik, maka Bernard akan langsung tahu. Jadi tanggal Jul 15, Aug 22, dan Sep 17 pasti bukan hari ulang tahun Cheryl.

3. Albert tetap belum mengetahui kapan ulang tahun Cheryl. Dia juga yakin bahwa David tak tahu

Tanggal yang tersisa :

Jul 16

Aug 14, Aug 20

Sep 14, Sep 16, Sep 20

Albert tetap belum tahu kapan hari ulang tahun Cheryl. Berarti Jul 16 pasti bukan hari ulang tahun Cheryl karena Albert yang hanya tahu bulannya saja, pasti akan langsung mengetahui hari ulang tahun Cheryl jika benar Jul 16. Kemungkinan yang tersisa adalah bulan Agustus dan September. Ada clue bahwa David tak tahu tanggal ulang tahun Cheryl. Perlu diingat bahwa David diberitahu tanggal dan bulan yang sama sekali berbeda dengan hari ulang tahun Cheryl.

4. David mengatakan bahwa dia tak tahu tanggal ulang tahun Cheryl sesaat sebelum Albert mengatakan kalimat terakhir pada poin (3). Tetapi kini, David tahu bulannya apa

Tanggal yang tersisa :

Aug 14, Aug 20

Sep 14, Sep 16, Sep 20

Jika David tahu bulannya (tanggal yang diberi tahu Cheryl) apa, maka bulan dengan tanggal yang sama pastilah bukan hari ulang tahun Cheryl. Jadi Aug 14 dan Sep 14 bukanlah hari ulang tahun Cheryl.

5. Bernard juga mengaku tidak tahu tanggal ulang tahun Cheryl sesaat sebelum Albert mengatakan poin (3). Kini Bernard tahu hari ulang tahun Cheryl

Tanggal yang tersisa :

Aug 20

Sep 16, Sep 20

Bernard yang hanya mengetahui tanggalnya saja mengaku sudah tahu hari ulang tahun Cheryl. Dengan demikian, Sep 16 adalah hari ulang Cheryl karena jika tanggal yg diketahui Bernard adalah tanggal 20, dia tidak akan tahu apakah hari ulang tahun Cheryl Aug 20 atau Sep 20.

6. David tahu tanggal ulang tahun Cheryl

 Ingat bahwa David diberitahu bulan dan tanggal yg keduanya berbeda dengan hari ulang tahun Cheryl. Aug 20 dan Sep 20 adalah tanggal yang sama sehingga David tahu hari ulang tahun Cheryl adalah Sep 16

7. Albert kini tahu tanggal ulang tahun Cheryl.

 Alasan yang sama pada poin ke-5

Ulang tahun Cheryl Sep 16. Berarti tanggal dan bulan yang diberi tahu ke David haruslah Aug 20.

Beberapa teman saya mengatakan bahwa tanggal dan bulan yang diberitahu ke David kemungkinan Aug 20 atau Aug 14. Saya juga curiga bahwa pada poin ke-4, David langsung mengetahui bulan dari ulang tahun Cheryl. Hal ini tidak berarti membuang Aug 14 dari salah satu dari kemungkinan tanggal yang diberi tahu oleh Chery kepada David.

Iklan

Soal Matematika Primary 5 Singapura (Versi bertele-tele)

math1eSore tadi saya membaca sebuah tautan yang berisi soal Matematika level primary 5 siswa Singapura (mungkin kalau di Indonesia setara kelas 5 SD). Jujur soal seperti ini berhasil membuat dahi saya berkerut. Betapa efektifnya komunikasi antara Albert yang hanya mengetahui bulan, dan Bernard yang hanya mengetahui hari dari ulang tahun Cheryl.

1. Albert mengatakan bahwa dia tidak tahu persisnya tanggal berapa Cheryl berulang tahun, tapi dia tahu kalau Bernard juga tidak akan tahu tanggalnya yang mana

Pada poin ini, Albert yang sudah tahu bulan dari hari ulang tahun memberi pesan bahwa bulan yang ia ketahui mempunyai tanggal yang tidak unik. Karena jika tanggal tersebut unik, Bernard tentu akan langsung tahu tanggal dan bulan berapa. Dengan demikian, bulan-bulan yang terdapat tanggal unik otomatis akan tercoret, yaitu bulan Mei dan Juni karena pada daftar bulan Mei terdapat tanggal 19 dan bulan Juni terdapat tanggal 18 di mana tanggal tersebut tidak ada di bulan lainnya.

2. Bernard mengatakan bahwa pada awalnya dia tak tahu kapan Cheryl berulang tahun, dan sekarang dia tahu kapan

Pada poin ini (setelah Mei dan Juni keluar dari list), Bernard yang hanya mengetahui tanggalnya saja, memberi pesan bahwa ia sudah tahu tanggal adalah ulang tahun Cheryl. Berarti hari dengan tanggal yang sama July 14 dan August 14 akan tereleminasi karena jika tanggal ulang tahun Cheryl yang sebenarnya adalah salah satu dari July 14 atau August 14, Bernard tentu tidak akan tahu. Kini pilihannya hanya tinggal 3 yaitu : July 16, August 15, dan August 17.

3. Albert kini sudah tahu tanggal berapa Cheryl berulang tahun

Albert yang hanya mengetahui bulannya saja, dengan 3 pilihan yang tersisa ini, sudah tahu tanggal berapa persisnya Cheryl berulang tahun. Jika Cheryl lahir pada August, tentu Albert tak akan tahu tanggal berapa yang benar. Oleh karena itu, Cheryl haruslah berulang tahun pada July 16

Seriously ini untuk anak SD?

Masalahnya Adalah Menjumlahkan Sisa Saldo

CBG8CTWUsAAfo-m

Beberapa hari yang lalu saya memperoleh gambar di atas. Malah diikuti dengan caption “Ini soal dari boss Alibaba yang katanya di seluruh dunia hanya 1 orang saja yang bisa jawab ini”

Pangkal dari permasalahan di atas adalah menjumlahkan sisa saldo. Kita tak bisa menjumlahkan begitu saja sisa saldo lalu membandingkan nilainya dengan jumlah uang sebelum dibelanjakan. Sebelumnya, saya akan membuat bentuk umum dari perhitungan di gambar tersebut

Misalkan saya mempunyai uang sebesar x. Uang ini akan saya belanjakan barang sebanyak n item. Dalam contoh gambar di atas, barang tersebut adalah jus, apel, roti, dll. Kemudian, besar dari pengeluaran untuk membeli n item tadi masing-masing sebesar y_1,y_2,...,y_n dengan y_i < x. i=1,2,3,...,n. Misalkan S_i adalah sisa saldo setelah membelanjakan barang ke-i. Sehingga S_i=x-\sum_{t=1}^{i}y_t

Menggunakan variabel – variabel yang didefinisikan di atas, total uang yang dibelanjakan adalah \sum_{t=1}^ny_t. Pembuat gambar di atas tentu saja menjumlahkan saldonya seperti di bawah ini:

T=\sum_{i=1}^{n}S_i =\sum_{i=1}^{n}\left(x-\sum_{s=1}^{i}y_s\right)=nx -\sum_{i=1}^{n}\sum_{s=1}^{i}y_s

Tentu saja T \neq \sum_{i=1}^ny_i

Abraham Wald dan Survivorship Bias

Abraham Wald (1902 – 1950) adalah seorang matematikawan kelahiran Cluj, Austria-Hungaria (sekarang Rumania). Ketika dia menyelesaikan studinya di 1930an, saat itu Austria sedang krisis ekonomi yang menyebabkan ia kesulitan direkrut menjadi Professor di sana. Pada akhirnya dia ditawarkan karir profesor statistik di Columbia University, New York. Saat itu bersamaan dengan berkuasanya Nazi di Austria. Wald merupakan salah satu manusia jenius eropa berketurunan Yahudi yang menyingkir ke Amerika Serikat karena Nazi berkuasa.

Abraham Wald (foto: Wikipedia)

Pada saat itu sedang Perang Dunia ke 2. Wald ditugaskan di Statistical Research Group (SRG) yang mengerjakan proyek rahasia semacam Proyek Manhattan. Hanya saja yang dihasilkan bukan bom atom, tetapi sebuah persamaan. Salah pekerjaan mereka adalah meneliti jumlah pesawat tempur yang selamat kembali ke markas setelah pergi bertempur. Pada umumnya, jika tak ingin pesawat jatuh karena ditembaki peluru, kita akan memasang armor di pesawat. Tetapi terlalu banyak armor yang dipasang akan membuat bobot pesawat semakin berat dan menjadi tidak lincah dalam bermanuver. Bobot yang berat juga akan membuat pesawat semakin boros bahan bakarnya. Oleh karena itu, pertanyaannya adalah, pasti ada titik optimum dari pemasangan armor di pesawat tempur.

Saat itu, militer juga memberikan data yang membantu SRG memecahkan masalah tersebut. Data yang diberikan adalah rata-rata jumlah lubang akibat tembakan musuh di badan pesawat yang kembali dari medan peperangan. Data tersebut kurang lebih menunjukkan bahwa lubang terbanyak berada di posisi fuel tank, badan pesawat, dan terakhir paling sedikit berada di bagian mesin. Dengan melihat data tersebut, militer dapat mengambil kesimpulan bahwa mereka dapat memasang armor sesuai dengan lokasi yang sering tertembak tanpa perlu memasang armor di seluruh bagian pesawat sehinggia membuatnya menjadi berat. Mereka juga berkesimpulan bahwa harus menambah armor di bagian tangki pesawat, bagian yang paling banyak mendapat tembakan.

Kesimpulan di atas nampak masuk akal bukan? Bagian yang sering tertembak lah yang harus dilindungi dengan diperkuat armor. Tetapi saat itu, Wald tak setuju. Dia berpendapat sebaliknya, pasanglah armor di bagian yang paling jarang tertembak yaitu mesin. Ia memperoleh kesimpulan seperti ini karena data tersebut diambil dari pesawat yang berhasil kembali ke markas. Data tersebut tidak mencakup pesawat yang tidak berhasil kembali ke markas alias jatuh. Bagian vital dari pesawat yang membuatnya dapat kembali selamat ke markas tentu adalah mesinnya.

Analogi di atas kurang lebih seperti korban luka tembak ketika peperangan. Korban luka tembak di bagian kaki lah yang paling banyak dirawat di rumah sakit karena korban luka tembak di dada tentu tak akan selamat. Oleh karena itu armor didesain untuk bagian perut dan dada. Fenomena inilah yang disebut survivorship bias.

Survivorship bias adalah kesalahan logika akibat terlalu berkonsentrasi kepada mereka/hal yang “selamat” dengan meniadakan penelitian lebih lanjut dari mereka/hal yang “tak selamat”. Wald yang tentu pengalamannya di bidang pesawat tempur kalah jauh dengan militer berhasil untuk tak terjebak survivorship bias.

Paper mengenai cerita pesawat tempur ini dapat dilihat di link ini

Sumber :

Jordan Ellenberg. How Not To Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking.  Penguin Press. 2014

 

Benar, Menurut Siapa dan Apa Dasarnya

Sudah lama saya menulis tentang ini, tentang relativisme terutama terkait dengan kebenaran. Saya tidak puas tentang penjelasan relativisme versi buku Islam Liberal 101 yang ditulis oleh kawan Akmal. Saya lupa dihalaman berapa (karena saya menulis post ini ketika tidak bersama buku itu) saudara Akmal menyebutkan salah satu contoh yang menurut saya absurd tentang relativisme yaitu 1+1 = 5. Menurutnya apakah kita harus setuju dengan orang yang menganggap 1+1=5?

Di dalam matematika, 1+1 tidak selalu sama dengan 2. Bisa saja 5 dan itu benar karena kita belum bilang kita sedang bermain di sistem matematika yang mana. Di kuliah struktur aljabar, kita diajarkan dan diberi pemahaman bahwa kita dapat membuat sistem matematika buatan kita sendiri. Mulai dari himpunan bilangan apa yang ikut disana, sampai operasi apa yang ingin kita sertakan. Dari sana saya sadar bahwa operasi “+” belum tentu “+” yang kita kenal di kehidupan sehari-hari. Juga arti dari “1” belum tentu berarti “1” seperti yang ada di kehidupan sehari-hari. Bisa saja orang yang mengajukan 1+1=5 itu benar karena ia telah membuat sistem matematikanya sendiri. Lalu apakah salah membuat sistem matematika sendiri? tidak. Disitulah tugas kita yaitu mengerti “sistem matematika” orang lain dan dapat mengerti apa tujuannya ia membuat sistem matematika seperti itu. Bukan langsung menjudge bahwa hal itu salah total (hanya karena kita menggunakan operasi “+” biasa dan sistem bilangan desimal).

7 x 7 = 1 ??
7 x 7 = 1 ?? (Klein 4-Group) – Wikipedia

Contoh lainnya adalah kita tahu bahwa setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 180 derajat. Ini benar, tapi JIKA di bidang Euclid. Ternyata ada segitiga yang jumlah sudutnya bisa lebih dari 180 derajat jika segitiga tersebut berada di bidang bola misalnya. Lalu apakah kita bilang segitiga ini salah? tentu tidak. Salah jika kita bermain di bidang Euclid, namun benar jika bermain di bidang bola.

Segitiga ini jumlah sudutnya 230 derajat loh – Wikipedia

Penting bagi kita untuk menyamakan definisi agar mencapai sebuah statement yang kita mengerti yang berasal dari orang lain. Suatu offside besar jika kita langsung menghakimi suatu point of view seseorang tanpa melihat apa dasar berpikirnya.

Oke, maafkan saya yang telah bermain banyak istilah matematika. Lalu adakah kebenaran yang tidak relatif (baca: absolut)? Menurut saya tidak ada. Kebenaran kitab suci pun juga merupakan suatu kebenaran yang relatif. Yaitu relatif terhadap kitab suci itu. Atau secara luas relatif terhadap Tuhan yang menurunkan kitab suci itu.  Inipun terjadi jika kita telah benar menterjemahkan/menafsirkan apa yang Tuhan mau, jika ternyata tidak? ya tentu relatif terhadap si penafsir kitab suci.

Lalu jika semuanya serba relatif, kita harus berpegang terhadap apa? Ini pertanyaan yang menarik. Namun izinkan saya memberikan suatu contoh yaitu  terkait hukum mekanika dalam fisika. Yang saya tahu ada beberapa hukum fisika yang berlaku di alam tertentu, tapi tidak berlaku di kondisi tertentu. Mekanika Newton contohnya, berlaku jika benda bergerak ‘lambat’ dan berukuran besar. Oleh karena itu Mekanika Newton tak bisa diterapkan ke benda yang mempunyai kecepatan hampir menyamai kecepatan cahaya.

Bagan Hukum Fisika (Dimana String Theory?) – Wikipedia

Pelajarannya adalah gunakan reference yang cocok dimana kasus itu terjadi. Jangan kita menghitung kecepatan sebuah mobil dengan hukum relativitas, meskipun bisa dilakukan, tapi tak praktis (percaya deh sama saya). Kira-kira seperti itulah bagaimana menyikapi sebuah kebenaran yang relatif.

Ujian Reevaluasi Kalkulus 1A 2012-2013

Bagian A

1. Hitunglah \lim_{x\rightarrow 0}x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right)

Jawab :

Gunakan prinsip apit.

-1\leq\cos\left(\frac{3}{x}\right)\leq 1

-x^2\leq x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right)\leq x^2

kita tahu bahwa \lim_{x\rightarrow 0} -x^2 = \lim_{x\rightarrow 0} x^2 = 0. Maka  \lim_{x\rightarrow 0}x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right) = 0

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y=\frac{1}{x+1} di titik P\left(1,\frac{1}{2}\right)

Jawab :

y'=\frac{-1}{(x+1)^2}, sehingga gradien garis singgung di x=1 adalah m=-\frac{1}{4}. Diperoleh garis singgng di P adalah y=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}

3. Tentukan selang kemonotonan fungsi f dengan memperhatikan grafik f' dibawah ini

Jawab :

Ingat bahwa f monoton naik jika f' >0 dan turun jika f' < 0

f monoton turun pada selang (-\infty,0) dan (0,2). Sedangkan f monoton naik pada selang (2,\infty)

4.  Tentukan konstanta positif a agar \int_0^a(2x+2)\,dx=3

Jawab :

\int_0^a2x+2\,dx = \left[x^2+2x\right]_0^a=3

a^2+2a = 3 sehingga a=1

5. Hitunglah \int_{-1001}^{1001} x^2\sin 3x\,dx dengan menggunakan sifat simetri

Jawab :

\int_{-1001}^{1001} x^2\sin 3x\,dx=0 karena x^2\sin 3x adalah fungsi ganjil.

6. Tentukan \int \frac{\ln x}{x}\,dx

Jawab :

\int\frac{\ln x}{x}\,dx =\int\ln x\,d(\ln x)=\frac{1}{2}\ln^2 x+C

7. Tentukan turunan kedua dari f(x)=e^{-5x}

Jawab :

f'(x)=-5e^{-5x}, diperoleh f''(x)=25e^{-5x}

8. Tentukan solusi \frac{dy}{dx}=2xy dengan y\neq 0

Jawab :

\frac{dy}{dx}=2xy

\frac{dy}{y}=2x\,dx

\int \frac{dy}{y}=\int 2x\,dx

\ln y = x^2 + C

y = Ce^{x^2}

Bagian B

1. Diketahui daerah D merupakan daerah tertutup di kuadran 1 yang dibatasi oleh kurva y=x^2,\, y=2-x dan sumbu y

a. Sketsalah daerah D

b. Misalkan V adalah volume benda putar yang terjadi jika D diputar mengelilingi sumbu y, tuliskan \Delta V kemudian hitunglah V

Jawab :

grafik

b. dengan menggunakan metode kulit tabung

\Delta V = 2\pi x(2-x -x^2)\Delta x

sehingga volume dari benda tsb adalah

V = \int_0^12\pi x(2-x-x^2)\,dx=\frac{5\pi}{6}

2. Kecepatan transmisi sinyal, T , pada suatu kabel telegraf dapat dinyatakan dalam bentuk T(x)=kx^2 \ln \frac{1}{x} dengan x adalah perbandingan jari-jari kawat dalam kabel dan insulatornya, 0<x<1, dan k adalah suatu konstanta positif.

a. Tentukan k jika diketahui T\left(\frac{1}{e}\right) = 1

b. Tentukan titik di mana T mencapai nilai maksimum

Jawab :

a. diketahui $latex T\left(\frac{1}{e}\right) = 1$,

T\left(\frac{1}{e}\right) = k\frac{1}{e^2}\ln e = 1, diperoleh k = e^2.

b. T'(x)=-2xe\ln x - ex = 0 untuk mencari titik stasionernya

ex(-2\ln x - 1) = 0, maka -2\ln x - 1=0, diperoleh x = \sqrt{e}

dengan nilai maksimum di T(\sqrt{e}) = \frac{e}{2}

Bukan Jawaban UAS Kalkulus IA 2012-2013

Perhatian :

– Ini jawaban versi saya sendiri, jadi belum tentu benar, tolong di cek kembali

– saya tidak bertanggung jawab atas kerugian-kerugian yang timbul akibat post ini 😛

—–

Bagian A

1. Tentukanlah F(x), jika F(x) merupakan anti turunan fungsi f(x)=2x^2-\cos x yang memenuhi F(0)=-1

Jawab :

F(x)=\int 2x^2-\cos x\,dx = \frac{2}{3}x^3-\sin x + C. Dengan informasi F(0)=-1, maka F(x)=\frac{2}{3}x^3-\sin x - 1

2. Tentukan hampiran luas daerah D menggunakan jumlah Riemann kiri dengan tiga selang bagian (n=3).

Jawab :

Dari gambar kita dapat tentukan a=0.5 dan b=2 sehingga \Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{2-0.5}{3}=0.5, karena yang diminta adalah jumlah Riemann kiri, maka x_1=0.5,x_2=1,x_3=1.5 atau x_i=0.5+(i-1)0.5,i=1,2,3. Sehingga jumlah Riemann kiri nya adalah

\sum_{i=1}^3f(0.5+(i-1)0.5)\cdot 0.5=\sum_{i=1}^3\left(1+\frac{1}{0.5+(i-1)0.5}\right)\cdot 0.5

3. Nyatakan limit jumlah Riemann :

\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\left(\cosh \frac{3i}{n}\right)\frac{3}{n}

sebagai integral tentu dengan batas bawah integral a=0. (Tidak perlu dihitung).

Jawab :

karena a=0, dan \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}, maka diperoleh b=3 sebagai batas bawah integral. Sehingga integralnya menjadi

\int_0^3\cosh x\,dx (Tidak perlu dihitung :p)

4. Hitunglah \int_{-2}^2e^{|x|}\,dx

ingat kembali apa arti dari |x|, integral diatas menjadi

\int_{-2}^2e^{|x|}\,dx=\int_{-2}^0e^{-x}\,dx +\int_0^2e^x\,dx

= \left[-e^{-x}\right]_{-2}^0+\left[e^x\right]_0^2 = 2e^2-2.

5. Nyatakan volume benda putar yang terjadi, jika daerah D diputar mengelilingi garis y=-1 dalam bentuk limit jumlah Riemann dan integral tentunya. (Tidak perlu dihitung)

Jawab :

y=\sqrt{x+1}, \Delta x=\frac{3-0}{n}=\frac{3}{n}. Dengan menggunakan limit jumlah Riemann kiri

x_i=\frac{3i}{n}. Dengan menggunakan metode cakram, \Delta V=\left(\pi (f\left(\frac{3i}{n}\right) +1)^2 -\pi\right)\frac{3}{n}. Sehingga diperloeh

V=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3\pi}{n}\sum_{i=1}^n\left( (f\left(\frac{3i}{n}\right) +1)^2 -1\right). Sedangkan dalam bentuk integral

V=\pi \int_0^3\left(\sqrt{x+1}+1\right)^2-1\,dx (lagi-lagi tak perlu dihitung)

6. Apakah fungsi y=xe^{-x} merupakan solusi dari persamaan diferensial xy'+(1+x)y=e^{-x}? Jelaskan jawaban Anda.

Jawab :

cara yang termudah adalah dengan tidak mencari solusinya, melainkan cocokkan saja y dengan persamaan diferensial tsb. y'=e^{-x}-xe^{-x}

Sehingga x(e^{-x}-xe^{-x})+(1+x)xe^{-x}=xe^{-x}-x^2e^{-x}+xe^{-x}+x^2e^{-x}=2xe^{-x}\neq e^{-x}

7. Gunakan sifat logaritma untuk menentukan \frac{dy}{dx}, jika

y=\left(\frac{(x^2+3)^{\frac{2}{3}}(3x+2)}{\sqrt{x+1}}\right)

Jawab :

\ln y= \frac{2}{3}\ln (x^2+3)+2\ln (3x+2)-\frac{1}{2}\ln (x+1)

\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3}\frac{2x}{x^2+3}+\frac{6}{3x+2}-\frac{1}{2(x+1)}

\frac{dy}{dx}=y\cdot\left(\frac{2}{3}\frac{2x}{x^2+3}+\frac{6}{3x+2}-\frac{1}{2(x+1)}\right)

\frac{dy}{dx}=\left(\frac{(x^2+3)^{\frac{2}{3}}(3x+2)}{\sqrt{x+1}}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\frac{2x}{x^2+3}+\frac{6}{3x+2}-\frac{1}{2(x+1)}\right)

8. Diketahui \frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}, Tentukan \int\frac{3}{1+4x^2}\,dx.

Jawaban :

\int\frac{3}{1+4x^2}\,dx=\frac{3}{2}\int \frac{1}{1+(2x)^2}\,d(2x)=\frac{3}{2}\tan{-1}(2x)+C

Bagian B

1. Diketahui F(x)=\int_2^{2x}e^{2t}(t^4+1)\,dt

a. Tentukan F'(x)

b. Tunjukkan bahwa F mempunyai invers

c. Tentukan \left(F^{-1})(0)\right).

Jawab :

a. \frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_2^{2x}e^{2t}(t^4+1)\,dt

F'(x)=2e^{4x}((2x)^4+1)

b. F mempunyai invers karena F'(x)>0 untuk setiap x.

c. Karena F mempunyai invers. maka $latex  F^{-1}(0)$ dapat dicari dengan menggunakan

$latex  F^{-1}(0) =\frac{1}{F^{-1}(1)}=\frac{1}{2e^4(2^16+1)}$

Dipilih 1 karena yang menghasilkan F(x)=0 adalah untuk x=1 (Integral dari \int_2^2 f(x)\,dx=0)

2. Hitunglah titik pusat massa lamina homogen yang dibatasi oleh grafik y=4-x^2 dan sumbu x.

Jawab :

Karena lamina homogen, asumsikan \delta=1 sehingga m=\int_0^24-x^2\,dx=4x-\frac{2}{3}x^3=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}

M_x=\frac{1}{2}\int_0^2 (4-x^2)^2\,dx dan M_y=\int_0^2 x(4-x^2)\,dx (silahkan hitung sendiri hehe)

maka \bar{x}=\frac{M_y}{m} dan \bar{y}=\frac{M_x}{m}

3. Ami mengundang teman-temannya untuk makan malam bersama yang dimulai tepat puku 7 malam nanti. Untuk mempersiapkan hidangan makan malam hingga matang pada temperatur 90 C, diperlukan waktu tepat 3 jam. Jika dibiarkan selama 15 menit setelah matang, temperatur hidangan akan menjadi 80 C. Hidangan baru bisa disantap jika temperaturnya mencapai 50 C. Tentukan kapan Ami mulai menyiapkan hidangan tersebut. Asumsikan temperatur ruangan tetap sebesar 25 C. (Petunjuk : Menurut Hukum Pendinginan Newton, laju perubahan temperatur suatu benda, sebanding dengan perbedaan temperatur benda tersebut dengan temperatur lingkungannya)

Jawab :

Memasak perlu waktu 3 jam hingga suhu pada t=0 adalah T=90. Model pendinginan Newton sesuai dengan petunjuk adalah

\frac{dT}{dt}=k(T-T_1)

dengan T_1 adalah suhu ruangan. Dengan menggunakan metode separasi, solusi dari persamaan diferensial di atas adalah

T(t)=T_1+T_0e^{kt}, dengan T_0=90 persamaan ini menjadi

T(t)=25 +90e^{kt}. Sekarang tugas kita adalah mencari besar dari k. Saat t=15, suhu hidangan menjadi 80 C.

80 = 25 +90e^{15k} diperoleh k = \frac{\ln (55/90)}{15}. Sehingga bentuk lengkap dari persamaan adalah

$latex T(t)=25 +90e^{\ln(55/90)t/15}$. Kita tingga mencari berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai suhu 50 C

50 = 25 +90e^{\ln (55/90)t/15} diperoleh t = \frac{15\ln(25)-15\ln(90)}{\ln(55)-\ln(90)} karena disini saya boleh menggunakan kalkulator, hasilnya adalah sekitar 39 menit. Sehingga Ami harus mulai memasak pada pukul 7 yang dikurangi oleh (3 jam + $latex \frac{15\ln(25)-15\ln(90)}{\ln(55)-\ln(90)}$ menit). Atau sekitar pukul 3.21