Matematika – Laman 2

Asal Usul Penggunaan Huruf X dalam Matematika

Tulisan ini saya buat dari berbagai sumber yang ada di Internet yang dapat saya temukan. Berawal dari presentasi Terry Moore di TED tentang topik yang sama. Suatu pertanyaan yang sangat menarik yang bahkan saya yakin mahasiswa jurusan matematika sekalipun belum tahu jawabannya apa yaitu “mengapa menggunakan lambang $x$ dalam matematika untuk sesuatu yang tidak diketahui?”

Untuk menjawab ini, kita perlu tahu suatu topik yang menjadi dasar dan fondasi utama dari matematika yaitu Aljabar. Aljabar diketahui telah ada sejak peradaban Islam Abbasiyah di Persia yaitu Al-Khawarizmi yang menjadi pionir dalam bidang ini. Beliau menulis suatu kitab yang berjudul al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala yang berisi persamaan dan perhitungan yang kini kita kenal sebagai ekspresi aljabar. Kitab berbahasa arab ini memakai notasi arab شَيْءٌ (dibaca : Sya-i-un) yang berarti sesuatu yang tidak diketahui atau something (inggris).

Singkat cerita pada sekitar abad ke-12 kitab ini mulai diterjemahkan dalam bahasa latin oleh peradaban Spanyol. Sayangnya mereka tidak mempunyai huruf yang berbunyi “sya” atau huruf “syin” sehingga mereka menggunakan lambang $\chi$ (baca : chi/khi) untuk mengganti syaiuun untuk notasi sesuatu yang tidak diketahui. Ketika terjemahan ini diterjemahkan kembali ke dalam bahasa lainnya, lambang $\chi$ lama-kelamaan berubah menjadi $X$ biasa sampai saat ini.

Penggunaan lambang X di dalam bidang matematika pun menjadi berbagai arti. Beberapa dosen saya terutama dosen statistik sangat sering mengingatkan mahasiswa untuk membedakan “X”, “x”, “ $X$ “, dan “ $x$ ” karena 4 hal ini mengandung arti yang berbeda. 2 ‘x’ yang pertama adalah huruf ‘x’ besar yang ditulis besar dan kecil sedangkan 2 ‘x’ selanjutnya adalah huruf ‘x’ kecil yang ditulis besar dan kecil. “X” biasanya digunakan untuk notasi peubah acak (random variable) yang mempunyai peran berbeda dengan variabel biasa yang sering digunakan.

Untuk lebih jelasnya lagi, mungkin pembaca dapat menonton video Terry Moore berikut

Peubah Acak Kontinu Positif

Misalkan $X>0$ adalah peubah acak kontinu positif. Peubah acak seperti ini digunakan untuk hal-hal yang bernilai positif, misalkan sisa umur manusia dalam tahun, kerugian asuransi, dll. Beberapa properties yang dimiliki oleh peubah acak kontinu positif ini (khususnya momen) sangat menarik. Misalnya dua hal dibawah ini

1. $E[X]=\int_0^\infty (1-F(x))\,dx$

dan

2. $E[X^2]=\int_0^\infty 2x(1-F(x))\,dx$

pada tulisan ini akan saya buktikan kedua sifat diatas.

Seperti yang diketahui, momen pertama dari peubah acak $X$ adalah $E[X]=\int_0^\infty x\,f(x)\,dx$ dengan $f(x)$ adalah fungsi kepadatan peluang dari peubah acak $X$ . Ingat teorema dasar kalkulus pertama, $x$ untuk $X$ seuatu peubah acak positif bisa kita tuliskan sebagai

$x=\int_0^x\,dt$

Subtitusikan persamaan ini ke dalam $ latex E[X]$ diatas menjadi

$E[X]=\int_0^\infty\int_0^x\,f(x)\,dt\,dx$

tukarkan urutan integral diatas, sehingga diperoleh

$E[X]=\int_0^\infty\int_t^\infty f(x)\,dx\,dt=\int_0^\infty (1-F(t))\,dt$

dengan sifat peluang $F(\infty)=1$ maka kita peroleh persamaan untuk momen pertama $X$ seperti di awal bagian tulisan ini. Untuk sifat yang kedua, kita dapat mengganti $x^2$ dengan $\int_0^x ,t\,dt$ , lakukan cara yang sama seperti saat kita mencari $E[X]$ diatas.

Bagaimana dengan $E[X^n]$ ?

$x^n$ dapat kita ubah bentuknya menjadi $x^n=\int_0^x nt^{n-1}\,dt$ , maka diperoleh

$E[X^n]=\int_0^\infty\int_0^xnt^{n-1}f(x)\,dt\,dx$

tukar urutan integral diatas menjadi

$E[X^n]=\int_0^\infty \int_t^\infty nt^{n-1} f(x)\,dx\,dt=\int_0^\infty nt^{n-1}(1-F(t))\,dt$

Terlihat bahwa kita dapat mencari bentuk umum dari $E[X^n]$ adalah $\int_0^\infty nx^{n-1} (1-F(x))\,dx$ , namun integral ini belum tentu ada (CMIIW).

ITB – SAS Academy

Mulai bulan ini saya menjadi salah satu trainer di workshop ITB – SAS Academy. ITB – SAS academy adalah suatu komunitas yang pada rencananya akan menjadi suatu tempat untuk share ilmu dan teknologi khususnya di software SAS. Software SAS sendiri, yang saya tahu sudah lama established, versi berbayarnya R (yg ini saya harus bisa juga). Jadi mungkin sebentar lagi blog ini akan berisi sedikit tutorial bagi yang sedang belajar SAS

Hampir Tidak Percaya Ini Sebuah Kebetulan

Setelah makan bakso Semar di jalan Cihampelas yang enak dan murah itu, saya kembali ke cockpit (ini sebutan untuk meja laptop saya) dan chatting dengan Alde, dia menemukan blog lama saya di multiply. Hehmm.. isinya hanya racauan anak SMA saja. Tetapi yang menarik, saya menemukan tulisan saya tertanggal 19 Januari 2008 seperti berikut :

Dalam cabang ilmu bisnis, terdapat salah satu ilmu aktuaria, selain akuntansi, keuangan, perbankan dan berbagai macam pecahannya. Aktuaria merupakan ilmu yang mengkaji kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi di muka atau di masa depan dengan pendekatan keuangan matematika (formula) dan statistics. Aktuaria erat kaitannya dengan keuangan dan perhitungannya.

Aktuaria sering dikaitkan dengan investasi dan valuasi asset (investment and valuation), Manajemen Resiko (Risk Management), asuransi (insurance), dan dana pension superannuation karena tugas seorang aktuaris memang menghitung secara rinci segala resiko dengan keuangan yang mungkin muncul karena kegiatan ekonomi. Pekerjaan seorang aktuaris memang menghitung secara rinci resiko yang berkenaan dengan investasi dan resiko keuangan yang mungkin muncul karena kegiatan ekonomi. Pekerjeaan aktuaris tidak akan jauh-jauh dari urusan prediksi kalkulasi dan perumusan angka-angka keuntungan dan kerugian atas segala kemungkinan yang akan terjadi pada masa depan, maka itu tugas utama mereka disebut Managing Uncertainty. Aktuaris meramal dengan pendekatan matematis dan statistic dan dapat dipertanggung jawabkan dengan rasio dan angka, bukan mistis.

Karir aktuaris menduduki salah satu dari 10 profesi termahal di amerika. Aktuaris di Indonesia belumlah begitu banyak walau diperlukan di banyak sektor seperti perbankan, perusahaan asuransi, investasi atau penanaman modal, badan-badan keuangan, konsultan keuangan, perumus kontrak, perencana keuangan dan lain-lain.

Untuk menjadi aktuaris, ada beberapa tahap yang disyaratkan yaitu lulus ujian mata kuliah yang disyaratkan oleh Ikatan Aktuaris Indonesia untuk tahap Ajun Aktuaris dan Aktuaris seperti probabilitas dan statistik, teori ekonomi, dasar akuntansi, matematika asuransi, teori resiko, asuransi jiwa, dan sebagainya.

Sumber : artikel ini ditulis oleh Macquire University Sydney, Australia (CRICOS Provider Code 00002J)

Buku Panduan Studi ke Luar Negeri 2008/2009 , Erajasa Globalindo

Saya ingat persis 19 Januari 2008 itu masa disaat saya belajar serius untuk mempersiapkan USM ITB di bulan Maret. Tulisan ini saya buat setelah berkunjung ke pameran pendidikan Australia di Kemang, dan membawa pulang beberapa booklet, salah satunya yang berisi ttg program studi yang ada di Australia tetapi tak ada di Indonesia, salah satu yang menarik di hati saya waktu itu sehingga membuat tulisan ini adalah Aktuaria (Actuarial Studies/Actuarial Science).

Entah ini kebetulan atau gerak tidak sadar saya. Pertama kali menginjakkan kaki di kampus gajah itu saya tak pernah mempunyai pikiran akan menekuni bidang aktuaria. Malah setelah diterima di FMIPA saya ingin masuk jurusan Fisika, entah kenapa juga ketika semester 2, di penghujung Tahap Persiapan Bersama, saya mengubah pilihan Matematika di pilihan pertama, lalu berturut-turut Fisika, Astronomi, dan Kimia.

Menariknya lagi, di 2 tahun pertama saya kuliah di Matematika ITB, saya tidak punya pikiran sama sekali untuk menekuni Aktuaria walaupun saat itu saya tahu bahwa jurusan Matematika punya spesialisasi kesana, saya fokus mengambil kuliah kombinatorika seperti Graf dan Teori Koding. Lalu tiba-tiba sekali, semester 7, saya mulai fokus ke kuliah-kuliah Aktuaria (yang berkorespondensi ke modul ujian Persatuan Aktuaris Indonesia).

Dan, bagian paling menarik, Artikel yang saya tulis lebih dari 4 tahun yang lalu itu sumber utamanya adalah booklet dari Macquire University, lalu 4 tahun kemudian saya mempunyai dosen pembimbing tugas akhir yang menyelesaikan Ph.D nya disana.

Update July 14, 2016

Saya tidak mengerti mengapa artikel ini ramai dikunjungi. Saya sudah mencoba beberapa keyword search di Google apakah artikel ini selalu ditampilkan di halaman pertama jika seseorang mencari informasi tentang Aktuaria. Ternyata itupun juga tidak.

Beberapa orang pembaca ada yang mengirim email ke saya (karena saya cantumkan email saya di komentar post ini) untuk bertanya langsung mengenai profesi Aktuaria. Saya sangat mengapresiasinya dan sangat senang sekali untuk menjawab berbagai pertanyaan tersebut. Beberapa pertanyaan masih terkait apa itu jurusan matematika dan aktuaria, perbedaannya apa, kuliahnya bagaimana. Untuk itu saya sudah membuat post ini yang berisi agak lengkap dengan isi dari kuliah di jurusan Matematika.

Saat membuat tulisan di atas, saya masih belum lulus dari kampus Gajah. Itu kira-kira 4 tahun yang lalu. Sebelum wisuda bulan April 2013, saya diterima bekerja di salah satu perusahaan asuransi bertempat di bilangan Sudirman Jakarta Selatan di divisi Product Actuarial.

Untuk ujian profesi dari Persatuan Aktuaris Indonesia, dari total 10 mata ujian, saya sudah menyelesaikan 9 mata ujian. Sehingga butuh satu lagi ujian untuk menjadi Fellow Society Actuaries Indonesia (FSAI). Informasi mengenai ujian profesi aktuaris dapat dilihat di web Persatuan Aktuaris Indonesia ini dan ini

Bagi teman-teman pembaca yang mempunyai pertanyaan, dapat langsung kontak saya via email adrianpradana@gmail.com atau Telegram @adrianpradana

Sedikit Tentang Mortalitas Dalam Asuransi Jiwa

Bagi perusahaan asuransi jiwa (life insurance), mortalitas adalah hal yang sangat penting sekali untuk menentukan berapa premi yang pantas untuk seseorang. Mortalitas disajikan dalam bentuk peluang, iya, peluang seseorang berumur $(x)$ akan meninggal $t$ tahun lagi. Wah kok umur orang bisa dihitung peluangnya? katanya hidup-mati orang tidak ada yang tahu? ini adalah pemahaman yang salah, matematikawan hanya bisa mengukur peluang, angka yang muncul di peluang itu adalah suatu proses ‘mengintip’ masa depan, yang Maha Kuasa lah yang menentukan. Tetapi sebagai manusia, lebih baik dari sekedar mempasrahkan hal ini, setidaknya kita sedikit berusaha dengan kemampuan hehe, ngomong apa saya ini.

Terdapat beberapa model matematika untuk mortalitas manusia ini, yang saya tahu diantaranya Makeham, De Moivre, dan Gompertz. Ketiga hal yang saya sebut sebelumnya adalah ‘formula’ dari manusia yang berumur $(x)$ . Dari situ kita bisa tahu berapa peluang seseorang berumur $(x)$ mati atau hidup $t$ tahun lagi. Karena berkaitan dengan peluang, lamanya manusia bertahan hidup ini merupakan suatu peubah acak, sebut saja itu dengan $T(x)$ . $T(x)$ ini sifatnya spesial, fungsinya akan berbeda karena bergantung dengan nilai $(x)$ . Sebagai ilustrasi, distribusi dari lamanya umur dari orang yang berumur 25 tahun dengan 65 tahun akan berbeda. Orang yang berumur 25 tahun distribusinya lebih menceng ke kanan (diperkirakan masih berpeluang besar untuk dapat hidup sampai umur 60++) sedangkan yang umurnya 65 lebih menceng ke kiri, mungkin ‘saatnya sudah dekat’ :D.

Peluang Hidup Manusia Yang Makin Menurun — Grafik Peluang Hidup

Model mortalitas yang saya sebut diatas berbentuk suatu formula, namun pada prakteknya perusahaan asuransi lebih suka menggunakan tabel mortalitas. Tabel mortalitas adalah tabel yang berisi peluang orang dapat bertahan hidup atau mati pada umur tertentu. Tabel ini dibuat melalui penelitian dan mungkin hanya berlaku untuk satu negara. Pasti pembaca sangat setuju bahwa mortalitas warga negara antara negara satu dan yang lainnya jelas berbeda. Di Indonesia rata-rata umurnya itu 60 tahun mungkin. Hidup sampai umur 70 tahunan saja sudah alhamdulillah. Tapi bagaimana dengan kawan kita di negara-negara yang sedang konflik seperti Somalia, Palestina, Irak atau negara dengan tingkat kelaparan/persebaran penyakit yg parah. Mungkin saja jarang ditemukan orang berumur panjang.

Tabel mortalitas sebenarnya juga dibangun dari model mortalitas yang saya sebut diatas, Saya pernah mendapatkan tugas untuk memodelkan umur seseorang dengan menggunakan Matlab. Mudah ternyata karena beberapa koefisien penting dari model Gompertz yang kami gunakan sudah diberikan. Sangat menarik apabila saya mencari peluang hidup saya berakhir dalam 1 tahun? 5 tahun? 10 tahun? atau 5 menit lagi? hehe.

Darimana rumus abc itu?

Mungkin bagi sebagian pembaca, topik ini hal sepele dan terlalu mudah. Rumus abc? ck ck ck, siapa yang ga tahu, tapi saya yakin mungkin banyak yang tidak tahu (atau terlupa) itu rumus abc datang darimana. Yang jelas bukan datang dari dunia ghoib. Kalau saya punya persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $a\neq 0$ , maka saya bisa cari akar dari persamaan kuadrat tersebut dengan rumus abc

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Pertama-tama, perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ . karena $a\neq 0$ boleh lah ya saya bagi kedua ruas dengan $a$ sehingga menjadi

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

dengan teknik melengkapkan kuadrat (atau kuadrat sempurna), saya peroleh

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0$

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}$

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

darisini, saya ambil akar dari kedua ruas

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x =\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

ketemu deh rumus abc ini.

Coba perhatikan bagian $\sqrt{b^2-4ac}$ , tidak menutup kemungkinan hasil akar ini bisa bilangan positif, nol, atau bahkan $b^2-4ac$ adalah bilangan negatif sehingga akan bertemu dengan kasus imajiner (bilangan kompleks). Penggolongan inilah yang nantinya disebut diskriminan. Diskriminan didefinisikan sebagai $D=b^2-4ac$ .

Tadi telah saya sebut bahwa kemungkinan dari nilai $D$ adalah tiga, yaitu $D>0$ , $D<0$ , $D=0$ . Jika $D>0$ , hasil dari $\sqrt{D}$ akan berupa suatu bilangan sehingga kita bisa mendapatkan dua buah akar untuk $x$ hal serupa jika kita menemui kasus $D<0$ . Jika $D=0$ maka bagian $\sqrt{b^2-4ac}=0$ yang berakibat akar dari $x$ hanya $\dfrac{-b}{2a}$ alias akarnya tunggal.

Relasi Ekivalen

Relasi Ekivalen (Equivalence Relation) merupakan salah satu topik yang dibahas didalam aljabar maupun matematika diskrit. Diberikan relasi pada himpunan A, untuk , relasi dikatakan relasi ekivalen jika dan hanya jika memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif.

1. , reflektif
2. maka . simetris.
3. dan maka . transitif