Hampir Tidak Percaya Ini Sebuah Kebetulan

Setelah makan bakso Semar di jalan Cihampelas yang enak dan murah itu, saya kembali ke cockpit (ini sebutan untuk meja laptop saya) dan chatting dengan Alde, dia menemukan blog lama saya di multiply. Hehmm.. isinya hanya racauan anak SMA saja. Tetapi yang menarik, saya menemukan tulisan saya tertanggal 19 Januari 2008 seperti berikut :

Dalam cabang ilmu bisnis, terdapat salah satu ilmu aktuaria, selain akuntansi, keuangan, perbankan dan berbagai macam pecahannya. Aktuaria merupakan ilmu yang mengkaji kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi di muka atau di masa depan dengan pendekatan keuangan matematika (formula) dan statistics. Aktuaria erat kaitannya dengan keuangan dan perhitungannya.

Aktuaria sering dikaitkan dengan investasi dan valuasi asset (investment and valuation), Manajemen Resiko (Risk Management), asuransi (insurance), dan dana pension superannuation karena tugas seorang aktuaris memang menghitung secara rinci segala resiko dengan keuangan yang mungkin muncul karena kegiatan ekonomi. Pekerjaan seorang aktuaris memang menghitung secara rinci resiko yang berkenaan dengan investasi dan resiko keuangan yang mungkin muncul karena kegiatan ekonomi. Pekerjeaan aktuaris tidak akan jauh-jauh dari urusan prediksi kalkulasi dan perumusan angka-angka keuntungan dan kerugian atas segala kemungkinan yang akan terjadi pada masa depan, maka itu tugas utama mereka disebut Managing Uncertainty. Aktuaris meramal dengan pendekatan matematis dan statistic dan dapat dipertanggung jawabkan dengan rasio dan angka, bukan mistis.

Karir aktuaris menduduki salah satu dari 10 profesi termahal di amerika. Aktuaris di Indonesia belumlah begitu banyak walau diperlukan di banyak sektor seperti perbankan, perusahaan asuransi, investasi atau penanaman modal, badan-badan keuangan, konsultan keuangan, perumus kontrak, perencana keuangan dan lain-lain.

Untuk menjadi aktuaris, ada beberapa tahap yang disyaratkan yaitu lulus ujian mata kuliah yang disyaratkan oleh Ikatan Aktuaris Indonesia untuk tahap Ajun Aktuaris dan Aktuaris seperti probabilitas dan statistik, teori ekonomi, dasar akuntansi, matematika asuransi, teori resiko, asuransi jiwa, dan sebagainya.

Sumber : artikel ini ditulis oleh Macquire University Sydney, Australia (CRICOS Provider Code 00002J)

Buku Panduan Studi ke Luar Negeri 2008/2009 , Erajasa Globalindo

Saya ingat persis 19 Januari 2008 itu masa disaat saya belajar serius untuk mempersiapkan USM ITB di bulan Maret. Tulisan ini saya buat setelah berkunjung ke pameran pendidikan Australia di Kemang, dan membawa pulang beberapa booklet, salah satunya yang berisi ttg program studi yang ada di Australia tetapi tak ada di Indonesia, salah satu yang menarik di hati saya waktu itu sehingga membuat tulisan ini adalah Aktuaria (Actuarial Studies/Actuarial Science).

Entah ini kebetulan atau gerak tidak sadar saya. Pertama kali menginjakkan kaki di kampus gajah itu saya tak pernah mempunyai pikiran akan menekuni bidang aktuaria. Malah setelah diterima di FMIPA saya ingin masuk jurusan Fisika, entah kenapa juga ketika semester 2, di penghujung Tahap Persiapan Bersama, saya mengubah pilihan Matematika di pilihan pertama, lalu berturut-turut Fisika, Astronomi, dan Kimia.

Menariknya lagi, di 2 tahun pertama saya kuliah di Matematika ITB, saya tidak punya pikiran sama sekali untuk menekuni Aktuaria walaupun saat itu saya tahu bahwa jurusan Matematika punya spesialisasi kesana, saya fokus mengambil kuliah kombinatorika seperti Graf dan Teori Koding. Lalu tiba-tiba sekali, semester 7, saya mulai fokus ke kuliah-kuliah Aktuaria (yang berkorespondensi ke modul ujian Persatuan Aktuaris Indonesia).

Dan, bagian paling menarik, Artikel yang saya tulis lebih dari 4 tahun yang lalu itu sumber utamanya adalah booklet dari Macquire University, lalu 4 tahun kemudian saya mempunyai dosen pembimbing tugas akhir yang menyelesaikan Ph.D nya disana.


Update July 14, 2016

Saya tidak mengerti mengapa artikel ini ramai dikunjungi. Saya sudah mencoba beberapa keyword search di Google apakah artikel ini selalu ditampilkan di halaman pertama jika seseorang mencari informasi tentang Aktuaria. Ternyata itupun juga tidak.

Beberapa orang pembaca ada yang mengirim email ke saya (karena saya cantumkan email saya di komentar post ini) untuk bertanya langsung mengenai profesi Aktuaria. Saya sangat mengapresiasinya dan sangat senang sekali untuk menjawab berbagai pertanyaan tersebut. Beberapa pertanyaan masih terkait apa itu jurusan matematika dan aktuaria, perbedaannya apa, kuliahnya bagaimana. Untuk itu saya sudah membuat post ini yang berisi agak lengkap dengan isi dari kuliah di jurusan Matematika.

Saat membuat tulisan di atas, saya masih belum lulus dari kampus Gajah. Itu kira-kira 4 tahun yang lalu. Sebelum wisuda bulan April 2013, saya diterima bekerja di salah satu perusahaan asuransi bertempat di bilangan Sudirman Jakarta Selatan di divisi Product Actuarial.

Untuk ujian profesi dari Persatuan Aktuaris Indonesia, dari total 10 mata ujian, saya sudah menyelesaikan 9 mata ujian. Sehingga butuh satu lagi ujian untuk menjadi Fellow Society Actuaries Indonesia (FSAI). Informasi mengenai ujian profesi aktuaris dapat dilihat di web Persatuan Aktuaris Indonesia ini dan ini

Bagi teman-teman pembaca yang mempunyai pertanyaan, dapat langsung kontak saya via email adrianpradana@gmail.com atau Telegram @adrianpradana

Sedikit Tentang Mortalitas Dalam Asuransi Jiwa

Bagi perusahaan asuransi jiwa (life insurance), mortalitas adalah hal yang sangat penting sekali untuk menentukan berapa premi yang pantas untuk seseorang. Mortalitas disajikan dalam bentuk peluang, iya, peluang seseorang berumur (x) akan meninggal t tahun lagi. Wah kok umur orang bisa dihitung peluangnya? katanya hidup-mati orang tidak ada yang tahu? ini adalah pemahaman yang salah, matematikawan hanya bisa mengukur peluang, angka yang muncul di peluang itu adalah suatu proses ‘mengintip’ masa depan, yang Maha Kuasa lah yang menentukan. Tetapi sebagai manusia, lebih baik dari sekedar mempasrahkan hal ini, setidaknya kita sedikit berusaha dengan kemampuan hehe, ngomong apa saya ini.

Terdapat beberapa model matematika untuk mortalitas manusia ini, yang saya tahu diantaranya Makeham, De Moivre, dan Gompertz. Ketiga hal yang saya sebut sebelumnya adalah ‘formula’ dari manusia yang berumur (x). Dari situ kita bisa tahu berapa peluang seseorang berumur (x) mati atau hidup t tahun lagi. Karena berkaitan dengan peluang, lamanya manusia bertahan hidup ini merupakan suatu peubah acak, sebut saja itu dengan T(x). T(x) ini sifatnya spesial, fungsinya akan berbeda karena bergantung dengan nilai (x). Sebagai ilustrasi, distribusi dari lamanya umur dari orang yang berumur 25 tahun dengan 65 tahun akan berbeda. Orang yang berumur 25 tahun distribusinya lebih menceng ke kanan (diperkirakan masih berpeluang besar untuk dapat hidup sampai umur 60++) sedangkan yang umurnya 65 lebih menceng ke kiri, mungkin ‘saatnya sudah dekat’ :D.

Grafik Peluang Hidup

Model mortalitas yang saya sebut diatas berbentuk suatu formula, namun pada prakteknya perusahaan asuransi lebih suka menggunakan tabel mortalitas. Tabel mortalitas adalah tabel yang berisi peluang orang dapat bertahan hidup atau mati pada umur tertentu. Tabel ini dibuat melalui penelitian dan mungkin hanya berlaku untuk satu negara. Pasti pembaca sangat setuju bahwa mortalitas warga negara antara negara satu dan yang lainnya jelas berbeda. Di Indonesia rata-rata umurnya itu 60 tahun mungkin. Hidup sampai umur 70 tahunan saja sudah alhamdulillah. Tapi bagaimana dengan kawan kita di negara-negara yang sedang konflik seperti Somalia, Palestina, Irak atau negara dengan tingkat kelaparan/persebaran penyakit yg parah. Mungkin saja jarang ditemukan orang berumur panjang.

Tabel mortalitas sebenarnya juga dibangun dari model mortalitas yang saya sebut diatas, Saya pernah mendapatkan tugas untuk memodelkan umur seseorang dengan menggunakan Matlab. Mudah ternyata karena beberapa koefisien penting dari model Gompertz yang kami gunakan sudah diberikan. Sangat menarik apabila saya mencari peluang hidup saya berakhir dalam 1 tahun? 5 tahun? 10 tahun? atau 5 menit lagi? hehe.

Darimana rumus abc itu?

Mungkin bagi sebagian pembaca, topik ini hal sepele dan terlalu mudah. Rumus abc? ck ck ck, siapa yang ga tahu, tapi saya yakin mungkin banyak yang tidak tahu (atau terlupa) itu rumus abc datang darimana. Yang jelas bukan datang dari dunia ghoib. Kalau saya punya persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 dengan a\neq 0, maka saya bisa cari akar dari persamaan kuadrat tersebut dengan rumus abc

x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Pertama-tama, perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat ax^2+bx+c=0 . karena $a\neq 0$ boleh lah ya saya bagi kedua ruas dengan a sehingga menjadi

x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0

dengan teknik melengkapkan kuadrat (atau kuadrat sempurna), saya peroleh

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}=0

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

darisini, saya ambil akar dari kedua ruas

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}

\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=\dfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x =\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

ketemu deh rumus abc ini.

Coba perhatikan bagian \sqrt{b^2-4ac}, tidak menutup kemungkinan hasil akar ini bisa bilangan positif, nol, atau bahkan b^2-4ac adalah bilangan negatif sehingga akan bertemu dengan kasus imajiner (bilangan kompleks). Penggolongan inilah yang nantinya disebut diskriminan. Diskriminan didefinisikan sebagai D=b^2-4ac.

Tadi telah saya sebut bahwa kemungkinan dari nilai D adalah tiga, yaitu D>0, D<0, D=0. Jika D>0, hasil dari \sqrt{D} akan berupa suatu bilangan sehingga kita bisa mendapatkan dua buah akar untuk x hal serupa jika kita menemui kasus D<0. Jika D=0 maka bagian \sqrt{b^2-4ac}=0 yang berakibat akar dari x hanya \dfrac{-b}{2a} alias akarnya tunggal.

Relasi Ekivalen

Relasi Ekivalen (Equivalence Relation) merupakan salah satu topik yang dibahas didalam aljabar maupun matematika diskrit. Diberikan relasi pada himpunan A, untuk , relasi dikatakan relasi ekivalen jika dan hanya jika memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif.

1. , reflektif
2. maka . simetris.
3. dan maka . transitif

Sekarang Hari Pi

Baru terbangun baru tidur, lalu buka komputer dan buka browser, salah satu web wajib saya untuk surfing di internet adalah Google. Tapi ada yang menarik saya dari halaman google hari ini yaitu lambang Google yang seperti ini yang membuat jiwa matematikawan saya ingin mencari lebih dalam lagi 😀

pi
pi
Pi adalah suatu konstanta yang bernilai tetap tapi menurut saya sangat misterius. Nilai pi didapat dari rasio antara panjang busur lingkaran dengan diameternya. Jika di tingkat sekolah seperti SMP atau SMA, nilai pi dikenalkan sebagai 3.14 atau 22/7 dan gunakan mana yang gampang :D. Tetapi ketika di kuliah, nilai pi itu ternyata berbeda dengan 22/7 sejak beberapa angka di belakang koma.
Konon pi ini sudah digunakan sejak zaman Mesir kuno untuk membangun Piramida di Giza 2550-2550 SM untuk mengestimasi 440 balok batu di setiap sisinya dan rasionya 440/280 yang sekali lagi menghampiri nilai 0.5 pi.Setelah itu Aristoteles yang pertama kali mengestimasi pi dengan baik dengan metode membuat polygon 96 sisi yang jika anda bayangkan hampir berbentuk lingkaran karena lingkaran sendiri adalah polygon dengan sisi tak hingga banyak.
Sementara ini, pi adalah suatu bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dibentuk oleh a/b dengan a,b adalah bilangan bulat dan b tidak nol. Jika bilangan irasional, maka ada saja beberapa matematikawan yang menurut saya iseng untuk mencari sebanyak apa angka di belakang koma dari pi. Dan rekor saat ini dipegang oleh Lu Chao yang berasal dari China dengan 67890 pada 20 November 2005. Jadi bayangkan saja sebuah angka desimal dengan panjang angka dibelakang komanya sebanyak 67890. Mungkin anda akan capek scroll halamannya jika saya sertakan disini 😀
Diawal tulisan ini saya mengatakan bahwa  22/7 berbeda dengan pi sejak beberapa angka dibelakang koma. Dan saya akan memperlihatkannya disini. Nilai pi yang saya dapat di wikipedia adalah 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
sedangkan hasil 22/7 dari kalkulator
3.1428571430 (kalkulator saya hanya bisa 10 angka dibelakang koma :nohope:)

pi

tapi bisa kita lihat dan bandingkan, mereka berbeda sejak 3 angka dibelakang koma. Hal itu lah yang membuat saya di kuliah tidak pernah memamsukkan pi dengan 22/7, tapi langsung dari kalkulator scientific yg ada fungsi pi nya :D. Sangat kontras sekali ketika masih disekolah, ada semacam algoritma tak tertulis jika mendapatkan soal dengan diameter atau jari-jari dengan kelipatan 7, maka gunakan 22/7 agar kau bisa mencoretnya, :D.

Mengapa hari ini disebut hari pi? Saat ini adalah 14 Maret 2010. Format penanggalan yang dipakai di dunia internasional adalah <bulan>/<tanggal> baru tahun dibelakangnya. Sehingga didapat hari ini adalah 3-14-2010, 3-14 mirip seperti nilai pi dengan 2 angka di belakang koma. Saya jadi teringat konstanta matematika lain yang terkenal yaitu e (Euler Number). Berarti tidak pernah ada hari Euler, karena nilai e untuk 2 angka dibelakang koma berkisar 2.72, sementara bulan Februari hanya sampai di angka 28 atau 29 jika di tahun kabisat.

Pi adalah suatu konstanta yang bernilai tetap tapi menurut saya sangat misterius. Nilai pi didapat dari rasio antara panjang busur lingkaran dengan diameternya. Jika di tingkat sekolah seperti SMP atau SMA, nilai pi dikenalkan sebagai 3.14 atau 22/7 dan gunakan mana yang gampang :D. Tetapi ketika di kuliah, nilai pi itu ternyata berbeda dengan 22/7 sejak beberapa angka di belakang koma.

Konon pi ini sudah digunakan sejak zaman Mesir kuno untuk membangun Piramida di Giza 2550-2550 SM untuk mengestimasi 440 balok batu di setiap sisinya dan rasionya 440/280 yang sekali lagi menghampiri nilai 0.5 pi.Setelah itu Aristoteles yang pertama kali mengestimasi pi dengan baik dengan metode membuat polygon 96 sisi yang jika anda bayangkan hampir berbentuk lingkaran karena lingkaran sendiri adalah polygon dengan sisi tak hingga banyak.

Sementara ini, pi adalah suatu bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dibentuk oleh a/b dengan a,b adalah bilangan bulat dan b tidak nol. Jika bilangan irasional, maka ada saja beberapa matematikawan yang menurut saya iseng untuk mencari sebanyak apa angka di belakang koma dari pi. Dan rekor saat ini dipegang oleh Lu Chao yang berasal dari China dengan 67890 pada 20 November 2005. Jadi bayangkan saja sebuah angka desimal dengan panjang angka dibelakang komanya sebanyak 67890. Mungkin anda akan capek scroll halamannya jika saya sertakan disini 😀

Diawal tulisan ini saya mengatakan bahwa 22/7 berbeda dengan pi sejak beberapa angka dibelakang koma. Dan saya akan memperlihatkannya disini. Nilai pi yang saya dapat di wikipedia adalah 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

sedangkan hasil 22/7 dari kalkulator

3.1428571430 (kalkulator saya hanya bisa 10 angka dibelakang koma :nohope:)

tapi bisa kita lihat dan bandingkan, mereka berbeda sejak 3 angka dibelakang koma. Hal itu lah yang membuat saya di kuliah tidak pernah memamsukkan pi dengan 22/7, tapi langsung dari kalkulator scientific yg ada fungsi pi nya :D. Sangat kontras sekali ketika masih disekolah, ada semacam algoritma tak tertulis jika mendapatkan soal dengan diameter atau jari-jari dengan kelipatan 7, maka gunakan 22/7 agar kau bisa mencoretnya, :D.

Bagaimana dengan saat ini? Matematikawan modern saat ini telah membuat beberapa formulasi hampiran untuk mencapai nilai pi yang sebenarnya. Yang menarik salah satunya adalah matematikawan asal India, M?dhavan. Beliau membuat suatu deret bilangan yang jika dihampirkan terus menuju suku ke tak hingga, maka nilanya akan menuju menuju nilai pi. Deret tersebut adalah

Setelah saya googling lagi, saya mendapatkan puisi mengenai pi

“An Ode to ?” or
“A Mathematician’s Fantasy”
~A Shakespearean Sonnet~
by Bryan Beyer
Oh ?, every night I think of you,
Your perfect circles wander through my dreams.
I would like to deny it, but its true,
Forever I will adore you, it seems.
Squares just can’t shape up; triangles are lame.
A heptagon is just too hard to draw,
Each hexagon looks exactly the same.
But I will not forget the time I saw
That enchanting ratio in your eyes.
Your diameter to circumference
Will never change, would not dare to surprise,
And that, dear ?, makes all the difference.
I commit you to my heart evermore-
Alas, my ?, you are three-point-one-four.

Monthy Hall Problem

atau yang lebih dikenal dengan Three Door Quiz ini telah membuat orang-orang banyak tertipu dari segi perhitungan probabilitasnya.

Jika saya paparkan lagi apa yang dimaksud dengan Monthy Hall Problem ini adalah. Ada 3 pintu didepan anda, 2 dari 3 pintu itu berisi kambing, dan sisanya adalah sebuah mobil sport mewah yang masih gress. Tugas anda adalah memilih satu dari ketiga pintu tersebut. Apakah anda akan mendapatkan kambing? atau sebuah mobil sport mewah yang masih gress?

Masalah ini kadang terlihat sepele. Mayoritas orang-orang akan mengatakan bahwa probabilitas mendapatkan mobil sport mewah dari ketiga pintu adalah 1/3. Iya, saya juga sependapat dengan hal demikian. Tetapi masalahnya adalah ketika kita memilih satu dari tiga pintu tersebut, si pembawa acara (dengan asumsi pembawa acara tahu dimana letak mobil sport mewah tadi) akan membuka 1 dari 2 pintu lain yang tidak kita pilih, dan ternyata pintu tersebut berisi seekor kambing. Kemudian si pembawa acara akan mengadakan tawaran ke kita untuk mengganti pintu dari pintu yang kita pilih pertama tadi, menjadi pintu yang lainnya. Apakah probabilitasnya tetap 1/3? atau malah menjadi 50 : 50?

Peninjauan yang paling mudah adalah seperti ini

Tersedia di depan kita 3 pintu, A, B, C. Kita harus memilih satu dari tiga pintu itu. Anggaplah kita memilih pintu A. Probabilitas saat ini adalah 1/3 dari masing-masing pintu. Cara yang paling cerdas adalah mengelompokkan ketiga pintu ini menjadi 2 kelompok. Kelompok pertama adalah pintu yang kita pilih, dalam hal ini hanya satu yaitu pintu A. Dan kedua adalah kelompok pintu yang tidak kita pilih (B dan C).

Hal tersebut memudahkan kita dalam menghitung berapa sih sebenarnya probabilitas masing-masing pintu ketika si pembawa acara membuka salah satu pintu yang berisi kambing diantara pintu B atau C yang tidak kita pilih.

Kedua kelompok pintu tadi (A) dan (B, C) masing – masing mempunyai probabilitas awal 1/3 dan 2/3. Tapi misal si pembawa acara membuka pintu C yang berisi kambing, maka probabilitas pintu B akan menjadi 2/3 karena jelas-jelas si pembawa acara memberikan bonus 1/3 kepada kita dengan cara membuka pintu C yang berisi kambing alias menjustifikasi probabilitas 2/3 ada sepenuhnya di pintu B.

Jadi jangan ragu memindahkan pilihan ke pintu B jika si pembawa acara menawarkannya. Tentu siapapun akan memilih yang probabilitasnya 2 kali lebih besar dari lainnya.

Bagaimana Jika ada N pintu?

Pada tahun 1975, D.L Ferguson mengusulkan sebuah generalisasi jika ada N pintu didalam kuis tersebut. Tingkat keberhasilan akan mendekati probabilitas 1 jika semakin banyak jumlah pintu dan si pembawa acara akan membuka seluruh pintu hingga yang tersisa hanya dua pintu, pintu yang kita pilih di awal, dan pintu yang tersisa dari yang tidak kita pilih. Tetapi keberhasilan akan mendekati nol jika ternyata pembawa acara hanya membuka satu pintu dari N-1 pintu yang tidak kita pilih.

Kampanye Partai via SMS

Tadi siang, saya menerima sebuah sms dari nomor yang tidak terdaftar di phonebook saya. Huff, untung saja bukan ancaman pembunuhan haha. Tapi berisi kampanye salah satu partai besar di Indonesia. Isi SMS nya seperti ini 

Sebentar lagi pemilu nomor berapa partai pilihan anda??

Jawab:

Usia anda * 5 + 57 – 17 : 5 – usia anda = partai pilihan anda

ah, rupanya kampanye unik ini membuat saya tertarik untuk menulisnya di blog ini. Terlepas apakah partai yang bersangkutan melanggar ketentuan kampanye dari KPU yang setahu saya seminggu ini adalah minggu tenang, dilarang kampanye. Tapi yang membuat saya tertarik dan sudah saya tebak sebelumnya. Pasti berapapun angka yang anda masukkan sebagai umur anda, pasti akan menuju suatu angka tertentu yang merupakan nomor partai. Mari kita bongkar

Lanjutkan membaca “Kampanye Partai via SMS”

Menulis Equation di Blog dengan LaTeX

Mungkin para pembaca blog saya pernah membaca artikel tentang pembahasan UTS 1 Kalkulus IIA yang saya tulis beberapa minggu lalu. Banyak teman-teman yang bertanya bagaimana caranya saya menulis persamaan – persamaan matematika di blog secara cepat, rapi, dan efisien. Ada juga yang mengatakan “Ga, pake microsoft equation ya? gile, rajin amat lw” haha. Saya ga sanggup nulis itu semua kalau menggunakan microsoft Equation buatan Om Bill itu. Bayangkan saja, saya harus mengklik simbol satu persatu di MS Word misalnya. Lalu saya copy paste ke blog. Wah berapa lama waktu yang saya butuhkan untuk mengerjakan itu? Ga kebayang deh.

Lanjutkan membaca “Menulis Equation di Blog dengan LaTeX”

UTS 1 Kalkulus + Kunci Jawaban (versi saya)

Lagi agak kesel ama suasana di facebook. Rata-rata semua status mereka membahas UTS kalkulus semua. Sebagai bentuk kekesalan saya, saya post ini saja di blog.

———————————————————————————————————

Dibagian sini ada kop surat, yg pernah pegang soalnya pasti taulah isinya apa

———————————————————————————————————

1. Tentukan

2. Tentukan

3. Hitunglah

4. Tunjukkan bahwa integral tak wajar konvergen.

5. Tentukan jumlah parsial deret dan tunjukkan bahwa deret tersebut konvergen dengan menghitung nilai (jumlah) deretnya.

6. Tentukan deret McLaurin untuk fungsi beserta selang kekonvergenannya. Petunjuk gunakan deret McLaurin untuk fungsi

Nah, jawabannya

Lanjutkan membaca “UTS 1 Kalkulus + Kunci Jawaban (versi saya)”

MIT OpenCourseWare, Bahan Kuliah Gratis dari MIT

MIT Courseware
kilk gambar untuk menuju ke situs MIT OpenCourseWare

adalah sebuah web yang menyediakan bahan kuliah berbagai bidang yang diajarkan di MIT. Bahan-bahan kuliah yang tersedia antara lain  Architecture and Planning, Humanitites, Arts, and Social Sciences, Management, Science, dan program lain seperti Athletics. Bahan kuliah tersedia untuk Undergraduate dan Graduate.

Bahan kuliah yang tersedia di web ini dapat dikatakan sangat lengkap. Mulai dari jadwal belajar, exam, video dari lecturer, dan study materials. Ukuran file bervariasi, yang pernah saya download paling kecil 1 MB dan terbesar sekitar 70MB. MIT tidak memberikan semacam sertifikat bagi yang mengikuti OpenCourseWare ini. Untuk mengikuti OpenCourseWare ini, tidak perlu melakukan registrasi. Cukup pilih bidang anda, pilih tema dari kuliah, lalu download. Praktis dan serasa belajar langsung dengan dosen-dosen MIT. Format bahan kuliah berupa file zip, dan isinya sebuah halaman web, dapat dibuka dengan browser internet yang ada saat ini. Karena sudah didownload, file ini dapat kita gunakan secara offline.